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| Aufgabe | Satz von Scheffé:
Seien [mm]P,P_1,P_2,\ldots[/mm] W-Maße mit Lebesguedichten [mm]p,p_1,p_2,\ldots[/mm] und gelte [mm]p_n\to p[/mm] f.s.
Dann gilt: [mm]\sup\limits_{A\in\mathcal {B}}|P_nA-PA| \ = \ \frac{1}{2}\lambda|p_n-p| \ \longrightarrow 0[/mm] |
Hallo zusammen,
nun kommt der Beweis, bei dem mit 2-3 Sachen unklar sind:
Beweis: Es gilt [mm]\lambda(p_n-p)=0[/mm].
1. Für [mm]A\in\mathcal B: 2|P_nA-PA|\red{=}|\lambda 1_A(p_n-p)| \ + \ |\lambda 1_{A^c}(p_n-p)| \ \le \ \lambda|p_n-p|[/mm]. Für [mm]A=\{p_n-p\ge 0\}[/mm] gilt die Gleichheit.
2. .... [mm]\lambda|p_n-p|\red{=}2\lambda(p_n-p)^+[/mm]
Der Prof bezeichnet die Integrale [mm]\int{f \ d\mu}[/mm] mit [mm]\mu f[/mm]
In diesem Sinne ist etwa [mm]\lambda|p_n-p|[/mm] zu verstehen ...
Erste Frage zum roten "=" in 1.
Wieso steht das da?
Es ist doch [mm]2|P_nA-PA|=2|P_n1_A-P1_A|=2\left|\int{1_A \ dP_n}-\int{1_A \ dP}\right|=2\left|\int\limits_A{(p_n-p) \ d\lambda}\right|=2|\lambda 1_A(p_n-p)|[/mm]
Wie kommt er da auf die Aufsplittung in die beiden Integrale über [mm]A[/mm] und [mm]A^c[/mm] ?
Weiter ist mir die Schlussbemerkung in 1. unklar.
In 2. ist das "=" auch unklar, es ist doch $|f|=f^++f^-$ - wieso ist das hier $=2f^+$ ? (mit [mm] $f=p_n-p$)
[/mm]
Für Hilfe wäre ich sehr dankbar!
Liebe Grüße
schachuzipus
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> Satz von Scheffé:
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> Seien [mm]P,P_1,P_2,\ldots[/mm] W-Maße mit Lebesguedichten
> [mm]p,p_1,p_2,\ldots[/mm] und gelte [mm]p_n\to p[/mm] f.s.
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> Dann gilt: [mm]\sup\limits_{A\in\mathcal {B}}|P_nA-PA| \ = \ \frac{1}{2}\lambda|p_n-p| \ \longrightarrow 0[/mm]
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> Hallo zusammen,
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> nun kommt der Beweis, bei dem mit 2-3 Sachen unklar sind:
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> Beweis: Es gilt [mm]\lambda(p_n-p)=0[/mm].
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> 1. Für [mm]A\in\mathcal B: 2|P_nA-PA|\red{=}|\lambda 1_A(p_n-p)| \ + \ |\lambda 1_{A^c}(p_n-p)| \ \le \ \lambda|p_n-p|[/mm].
> Für [mm]A=\{p_n-p\ge 0\}[/mm] gilt die Gleichheit.
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> 2. .... [mm]\lambda|p_n-p|\red{=}2\lambda(p_n-p)^+[/mm]
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> Der Prof bezeichnet die Integrale [mm]\int{f \ d\mu}[/mm] mit [mm]\mu f[/mm]
>
> In diesem Sinne ist etwa [mm]\lambda|p_n-p|[/mm] zu verstehen ...
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> Erste Frage zum roten "=" in 1.
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> Wieso steht das da?
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> Es ist doch [mm]2|P_nA-PA|=2|P_n1_A-P1_A|=2\left|\int{1_A \ dP_n}-\int{1_A \ dP}\right|=2\left|\int\limits_A{(p_n-p) \ d\lambda}\right|=2|\lambda 1_A(p_n-p)|[/mm]
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> Wie kommt er da auf die Aufsplittung in die beiden
> Integrale über [mm]A[/mm] und [mm]A^c[/mm] ?
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> Weiter ist mir die Schlussbemerkung in 1. unklar.
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> In 2. ist das "=" auch unklar, es ist doch [mm]|f|=f^++f^-[/mm] -
> wieso ist das hier [mm]=2f^+[/mm] ? (mit [mm]f=p_n-p[/mm])
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Das folgt im Wesentlichen daraus, das es sich um W-Maße handelt:
[mm] |P_n(A)-P(A)|=|1-P_n(A^{c})-(1-P(A^{c}))|=|P_n(A^{c})-P(A^{c})|
[/mm]
Die Schlussbemerkung gilt wegen [mm] |\lambda(p_n-p)|=\lambda(p_n-p)^{+}+\lambda(p_n-p)^{-}=\int_A|p_n-p|d\lambda+\int_{A^{c}}|p_n-p|d\lambda
[/mm]
Das = in 2 folgt dann daraus mit
[mm] 0=1-1=\lambda(p_n-p)=\int_A|p_n-p|d\lambda-\int_{A^{c}}|p_n-p|d\lambda\Rightarrow\int_{A^{c}}...=\int_A
[/mm]
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