Satz von Rouché < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:47 Mo 17.07.2006 | | Autor: | Mini273 |
| Aufgabe | Sei U [mm] \subset \IC [/mm] offen mit [mm] \overline{E} \subset [/mm] U und f: U [mm] \to \IC [/mm] holomorph mit f( [mm] \partial [/mm] E) [mm] \subset [/mm] E. Zeige, dass f genau einen Fixpunkt in E hat.
Hinweis: Satz von Rouché. |
Hallo,
ich komm bei dieser Aufgabe überhaupt nicht klar und weiß auch nicht, wie ich das genau beweisen soll.
Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben, was man da genau machen muss.
Der Satz von Rouché lautet:
Seien f,g [mm] \in [/mm] O(D), [mm] \gamma [/mm] ein einfach geschlossener nullhomologer WEg in D, der keine Nullstellen von f oder f+g durchläuft.
Es gelte [mm] |g(\lambda)| [/mm] < [mm] |f(\lambda)| \forall \lambda \in |\gamma| [/mm] und f und f+g sollen nur endlich viele Nullstellen in D haben.
Dann haben f und f+g im Inneren von [mm] \gamma [/mm] gleich viele Nullstellen (mit Vielfachheiten gezählt).
Ich hab mal so angefangen, komm aber nicht sehr weit:
Z.Z: [mm] |g(\lambda)| [/mm] < [mm] |f(\lambda)| \forall \lambda \in \partial [/mm] E
Sei g(z) = -z. Dann ist [mm] |g(\lambda)| [/mm] = [mm] |-\lambda| [/mm] = 1
Aber [mm] |f(\lambda)| [/mm] ist auch = 1 [mm] \forall \lambda \in \partial [/mm] E.
Wie kann man das denn beweisen, dass [mm] |g(\lambda)| [/mm] < [mm] |f(\lambda)|?
[/mm]
Und wie kann man dann draus schließen, dass f genau einen Fixpunkt in E hat?
Ich hoffe, es kann mir jemand weiter helfen.
Danke!!!
Viele Grüße,
MIni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:47 Mo 17.07.2006 | | Autor: | felixf |
Sali!
> Sei U [mm]\subset \IC[/mm] offen mit [mm]\overline{E} \subset[/mm] U und f: U
> [mm]\to \IC[/mm] holomorph mit f( [mm]\partial[/mm] E) [mm]\subset[/mm] E. Zeige, dass
> f genau einen Fixpunkt in E hat.
Was genau ist $E$? Eine beliebige Menge ist das sicher nicht, ansonsten lassen sich sehr leicht Gegenbeispiele fuer die Aussage finden... Ich vermute mal (anhand dem, was du spaeter schreibst), dass es der Einheitskreis ist. Stimmt das?
> Hinweis: Satz von Rouché.
> Hallo,
> ich komm bei dieser Aufgabe überhaupt nicht klar und weiß
> auch nicht, wie ich das genau beweisen soll.
> Vielleicht kann mir jemand einen Tipp geben, was man da
> genau machen muss.
>
> Der Satz von Rouché lautet:
> Seien f,g [mm]\in[/mm] O(D), [mm]\gamma[/mm] ein einfach geschlossener
> nullhomologer WEg in D, der keine Nullstellen von f oder
> f+g durchläuft.
> Es gelte [mm]|g(\lambda)|[/mm] < [mm]|f(\lambda)| \forall \lambda \in |\gamma|[/mm]
> und f und f+g sollen nur endlich viele Nullstellen in D
> haben.
> Dann haben f und f+g im Inneren von [mm]\gamma[/mm] gleich viele
> Nullstellen (mit Vielfachheiten gezählt).
>
> Ich hab mal so angefangen, komm aber nicht sehr weit:
> Z.Z: [mm]|g(\lambda)|[/mm] < [mm]|f(\lambda)| \forall \lambda \in \partial[/mm]
> E
>
> Sei g(z) = -z. Dann ist [mm]|g(\lambda)|[/mm] = [mm]|-\lambda|[/mm] = 1
>
> Aber [mm]|f(\lambda)|[/mm] ist auch = 1 [mm]\forall \lambda \in \partial[/mm]
> E.
Wieso das?! Wenn $E$ der Einheitskreis ist, dann gilt fuer jedes [mm] $\lambda \in \partial [/mm] E$, dass [mm] $f(\lambda) \in [/mm] E$ ist, also dass [mm] $|f(\lambda)| [/mm] < 1$ ist!
> Wie kann man das denn beweisen, dass [mm]|g(\lambda)|[/mm] <
> [mm]|f(\lambda)|?[/mm]
Mit der obigen Definition von $g$? Gar nicht.
> Und wie kann man dann draus schließen, dass f genau einen
> Fixpunkt in E hat?
Du musst das Problem `Fixpunkt' auf das Problem `Nullstelle' zurueckfuehren.
Die Funktion $f$ hat genau dann in $x [mm] \in [/mm] E$ einen Fixpunkt, wenn $f(x) = x$ ist, also wenn $f(x) - x = 0$ ist. Also suchst du die Nullstellen der Funktion $z [mm] \mapsto [/mm] f(z) - z$.
Nun hast du deine Funktionen $f$ und $g$, und es gilt $|f(z)| < |g(z)|$ fuer alle $z [mm] \in \partial [/mm] E$ (du musst im Satz von Rouche also alles umbenennen!). Nach dem Satz von Rouche haben dann $g$ und $g + f$ in $E$ genau die gleiche Anzahl von Nullstellen. Und das bedeutet...?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:35 Di 18.07.2006 | | Autor: | Mini273 |
Hallo felixf,
ja E bezeichnet die Einheitskreisscheibe.
Ich hab mit Hilfe deines Postings folgendes gemacht:
Sei h(z) = f(z) -z, gesucht sind die Nullstellen von h. Ist dann g(z) = -z?
Für alle z [mm] \in \partial [/mm] E gilt |f(z)| < |g(z)|. Dann hab ich einfach mal g(z) = -z angenommen und erhalte für alle z [mm] \in \partial [/mm] E |h(z) - g(z) | = |f(z) - z +z| = |f(z)| < 1 = |g(z)|
Wie du ja schon gesagt hast, folgt nach dem Satz von Rouche, dass g und g+f in E genau die gleiche Anzahl an Nullstellen haben.
Dann hab ich einfach mal so weiter gemacht, weiß aber nicht, ob das korrekt ist:
Da 1 = |g(z)| ist ist auch |g+f| = 1.
Also |h(z)| = |f(z) -z| = |f(z) + g(z)| = 1
Un aus |f(z) -z| = 1 für alle z [mm] \in \partial [/mm] E folgt doch f(z) -z = 0 oder?
Also f(z) = z.
Stimmt das so?
Danke für deine Hilfe! :)
Liebe Grüße,
Mini
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Di 18.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Mini!
> ja E bezeichnet die Einheitskreisscheibe.
> Ich hab mit Hilfe deines Postings folgendes gemacht:
> Sei h(z) = f(z) -z, gesucht sind die Nullstellen von h.
> Ist dann g(z) = -z?
Ja. Oder $g(z) = z$; das Vorzeichen aendert nichts, da die Nullstellen sich dadurch nicht aendern und es im Satz von Roche eh nur um den Betrag geht...
> Für alle z [mm]\in \partial[/mm] E gilt |f(z)| < |g(z)|. Dann hab
> ich einfach mal g(z) = -z angenommen und erhalte für alle z
> [mm]\in \partial[/mm] E |h(z) - g(z) | = |f(z) - z +z| = |f(z)| < 1
> = |g(z)|
> Wie du ja schon gesagt hast, folgt nach dem Satz von
> Rouche, dass g und g+f in E genau die gleiche Anzahl an
> Nullstellen haben.
...weil $h = g + f$ ist. Genau. Und damit bist du schon fertig: wieviele Nullstellen hat $g$? Und was bedeuten Nullstellen von $g + f$?
> Dann hab ich einfach mal so weiter gemacht, weiß aber
> nicht, ob das korrekt ist:
> Da 1 = |g(z)| ist ist auch |g+f| = 1.
Das stimmt nicht! (Bzw. stimmt nur fuer ganz bestimmte $f$.)
> Also |h(z)| = |f(z) -z| = |f(z) + g(z)| = 1
> Un aus |f(z) -z| = 1 für alle z [mm]\in \partial[/mm] E folgt doch
> f(z) -z = 0 oder?
Wieso sollte das folgen?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:18 Di 18.07.2006 | | Autor: | Moe007 |
Hallo Mini,
Ich mach auch grad die Aufgabe, hast du da vielleicht schon eine Lösung und mir weiterhelfen? Ich kapier die Aufgabe auch nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:10 Di 18.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Moe,
die Loesung steht doch in den vorherigen Postings. Lies sie dir doch mal durch. Wenn du was nicht verstehst, frag nach.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Di 18.07.2006 | | Autor: | Mini273 |
Hallo Felix, hallo Moe007,
ich weiß auch nicht, ob das was ich gemacht habe nun richtig ist.
Es gilt ja N(g, E) = N(g+f, E), wobei N die Anzahl der Nullstellen ist.
Und es ist ja N(g, E) = 1, also hat h auch nur eine Nullstelle, da h= g+f ist.
Daraus folgt doch h(z) = f(z) -z = 0, also f(z) = z. Fixpunkt.
Ich denke mal, dass das so stimmt, bin mir aber nicht 100% sicher.
Gruß,
Mini
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:35 Di 18.07.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Mini,
> ich weiß auch nicht, ob das was ich gemacht habe nun
> richtig ist.
> Es gilt ja N(g, E) = N(g+f, E), wobei N die Anzahl der
> Nullstellen ist.
> Und es ist ja N(g, E) = 1, also hat h auch nur eine
> Nullstelle, da h= g+f ist.
> Daraus folgt doch h(z) = f(z) -z = 0, also f(z) = z.
> Fixpunkt.
>
> Ich denke mal, dass das so stimmt, bin mir aber nicht 100%
> sicher.
so stimmts. Da $h$ genau eine Nullstelle in $E$ hat, hat $f$ somit genau einen Fixpunkt in $E$.
LG Felix
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