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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 21:05 Mi 30.11.2005 | | Autor: | kunzm |
Hallo mal wieder,
ich möchte den (verallgemeinerten) Satz von Morera beweisen.
[mm]
\textbf{H2} Verallgemeinerter Satz von Morera\\[12pt]
\textit{Es sei $U \subseteq \mathbb{C}$ offen und $f:U \rightarrow \mathbb{C}$ stetig. Für jedes in U enthaltene abgeschlossene Dreieck $\Delta$ gelte $\int _{\partial \Delta}f(z) dz=0$. Dann ist f holomorph auf U.}
[/mm]
Im prinzip möchte ich wie im Beweis des Cauchyschen Integralsatzes zeigen, dass es eine Stammfunktion F von f gibt, und anschließend über den Entwicklungssatz, der ja unter anderem sagt: ist eine Funktion auf einem Gebiet einmal kmplx diffbar ist sie unendlich oft kmplx diffbar.
Ich habe nur Schwierigkeiten den Beweis des Cauchyschen Integralsatzes (mittels lemma von Goursat) nachzuvollziehen. Wie also kann ich unter den gegebenen Voraussetzungen zeigen, das F Stammfunktion von f ist?
Hier, was ich mir bis jetzt zusammenbasteln konnte:
[mm]
Sei jetzt $\epsilon > 0$ und $U_{\epsilon}(z_{0})\subseteq U$. Dann ist $U_{\epsilon}(z_{0})$ ein Sterngebiet mit
Zentrum $z_{0}$ und\\
\bc
$F:U_{\epsilon}(z_{0})\rightarrow \mathbb{C}$, $F(z):= \int_{[z_{0},z]} f(\xi) d\xi$\\
[/mm]
und wenn ich gezeigt habe das F Stammfunktion der Einschränkung ist würde ich so zu Ende argumentieren:
[mm]
\textbf{Satz 2.15 }(Roch) Entwicklungssatz\\
\textit{Sei U offen und sei $U_{\epsilon}(z_{0})$ die grösste offene Kreisscheibe um $z_{0}$ in U. Dann
ist jede in U holomorphe Funktion f um $z_{0}$ in einer Potenzreihe entwickelbar die auf $U_{\epsilon}(z_{0})$
gegen f konvergiert. [...] Insbesondere ist f in U unendlich oft komplex differenzierbar [..] und es gelten die
Cauchyschen Integralformeln. Anmerkung: Funktionen die auf einer offenen Menge einmal komplex differenzierbar sind
sind bereits unendlich oft komplex differenzierbar.}\\[12pt]
$\Rightarrow$ Es ist $F'=f|_{U_{\epsilon}(z_{0})}$ auf $U_{\epsilon}(z_{0})$ (und somit $f$ in $z_{0}$) komplex
differenzierbar was zu beweisen war.\\
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Danke, Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:11 Do 01.12.2005 | | Autor: | kunzm |
Meine Frage hat sich geklärt, und könnte entfernt werden.
Danke Martin
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