Satz von Lagrange < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Sa 04.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Hallo,
Ich habe eine Frage zum Satz von Lagrange, und zwar lautet er ja: Es sei G eine endliche Gruppe und U ≤ G eine Untergruppe von G. Dann gilt
|G| = |U| · |G : U|.
Insbesondere gilt, |U| und |G/U| = |G : U| sind Teiler von |G|.
Gilt denn auch die Umkehrung, also dass jeder Teiler von |G| eine Untergruppe sein muss, und falls nein, gibt es dafür ein konkretes (einfaches) Gegenbeispiel? Habs mal bei symmetrischen und alternierenden Gruppen versucht, aber hab immer zu den Teilern auch eine Untergruppe gefunden.
Viele Grüße
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> Gilt denn auch die Umkehrung, also dass jeder Teiler von
> |G| eine Untergruppe sein muss, und falls nein, gibt es
> dafür ein konkretes (einfaches) Gegenbeispiel?
Hallo,
nein, es gibt i.a. nicht zu jedem Teiler der Gruppenordnung eine Untergruppe.
> Habs mal
> bei symmetrischen und alternierenden Gruppen versucht,
Hui! Du warst nah dran: [mm] A_4 [/mm] hat die Ordnung 12, jedoch keine untergruppe der Ordnung 6.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:38 Sa 04.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Ich vermute mal, das liegt in dem Fall daran, dass [mm] A_{4} [/mm] eine nicht-abelsche Gruppe ist. Sie enthält ja sowohl Elemente der Ordnung 2 als auch der Ordnung 3, aber die Mächtigkeit des Erzeugnis von 2 solchen Elementen ist in dem Fall 12, also die [mm] A_{4} [/mm] selbst. Aber wenn eine abelsche Gruppe G mit 12 Elementen solche 2 Elemente mit Ordnung 2 und Ordnung 3 besitzt, müsste G meiner Meinung nach durch das Erzeugnis von solchen 2 Elementen auch ne Untergruppe der Ordnung 6 haben. Allerdings weiß ich widerum nicht, ob, wenn man sich in G die Ordnungen aller Elemente betrachtet, man bestimmte geeignete Elemente auswählen kann und deren Ordnungen dann alle Primteiler von |G| enthalten. Wenn das so wäre, müsste die Umkehrung doch gelten. Kann man also wenigstens für endliche abelsche Gruppen die Umkehrung des Satzes von Lagrange schließen?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Sa 04.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> Ich vermute mal, das liegt in dem Fall daran, dass [mm]A_{4}[/mm]
> eine nicht-abelsche Gruppe ist. Sie enthält ja sowohl
> Elemente der Ordnung 2 als auch der Ordnung 3, aber die
> Mächtigkeit des Erzeugnis von 2 solchen Elementen ist in
> dem Fall 12, also die [mm]A_{4}[/mm] selbst.
Jupp.
> Aber wenn eine abelsche
> Gruppe G mit 12 Elementen solche 2 Elemente mit Ordnung 2
> und Ordnung 3 besitzt, müsste G meiner Meinung nach durch
> das Erzeugnis von solchen 2 Elementen auch ne Untergruppe
> der Ordnung 6 haben.
Ja, das hat sie auch. Siehe unten - oder wohlmöglich mit Sylow-Sätzen arbeiten.
> Allerdings weiß ich widerum nicht,
> ob, wenn man sich in G die Ordnungen aller Elemente
> betrachtet, man bestimmte geeignete Elemente auswählen
> kann und deren Ordnungen dann alle Primteiler von |G|
> enthalten.
Doch das geht - du findest für jeden Primteiler p ein Element der Ordnung p. Was im Allgemeinen nicht geht, ist Elemente höherer Primzahlpotenzordnung [m]p^k[/m] zu erhalten.
> Wenn das so wäre, müsste die Umkehrung doch
> gelten.
Naja, wie erhälst du Primzahlpotenzordnugnen mit der Überlegung?
> Kann man also wenigstens für endliche abelsche
> Gruppen die Umkehrung des Satzes von Lagrange schließen?
Ja, das kann man. Schau dir mal den ![[]](/images/popup.gif) Hauptsatz an und den chinesischen Restsatz. Jedenfalls folgt aus der Normalform sehr schnell, dass man jeden Teiler als Untergruppe realisieren kann. Es geht bestimmt auch direkter, ich weiß aber egrade nicht, wie. Deswegen lasse ich es auf halbbeantwortet.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:06 Sa 04.07.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> > Allerdings weiß ich widerum nicht,
> > ob, wenn man sich in G die Ordnungen aller Elemente
> > betrachtet, man bestimmte geeignete Elemente auswählen
> > kann und deren Ordnungen dann alle Primteiler von |G|
> > enthalten.
>
> Doch das geht - du findest für jeden Primteiler p ein
> Element der Ordnung p. Was im Allgemeinen nicht geht, ist
> Elemente höherer Primzahlpotenzordnung [m]p^k[/m] zu erhalten.
Ja, oder Elemente mit Ordnungen zu erhalten, die Produkte von verschiedenen Primteilern sind.
> > Kann man also wenigstens für endliche abelsche
> > Gruppen die Umkehrung des Satzes von Lagrange schließen?
>
> Ja, das kann man. Schau dir mal den
> Hauptsatz
> an und den chinesischen Restsatz. Jedenfalls folgt aus der
> Normalform sehr schnell, dass man jeden Teiler als
> Untergruppe realisieren kann. Es geht bestimmt auch
> direkter, ich weiß aber egrade nicht, wie. Deswegen lasse
> ich es auf halbbeantwortet.
Den chinesischen Restsatz braucht man nicht, der Hauptsatz reicht hier voellig. Ansonsten kann man noch mit den Sylow-Saetzen argumentieren und direkte Produkte von passenden Untergruppen der Sylowuntergruppen betrachten. (Da man vom Hauptsatz nur die Existenz und nicht die Eindeutigkeit braucht sind beide Wege wohl gleich kurz/lang.)
LG Felix
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Hallo,
ich weiß, ich grabe eine alte Frage aus, aber die Antwort interessiert mich heute auch.
Wie zeige ich denn, dass im abelschen Fall die Umkehrung des Satzes von Lagrange gilt? Aus dem Hauptsatz weiß ich ja, dass ich jede endliche, abelsche Gruppe als direkte Summe von zyklischen Gruppen schreiben kann (oder welchen Hauptsatz meinten die Vorgänger?). Inwiefern hilft das bei der Lösung denn weiter?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:58 Mo 25.11.2013 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Wie zeige ich denn, dass im abelschen Fall die Umkehrung
> des Satzes von Lagrange gilt? Aus dem Hauptsatz weiß ich
> ja, dass ich jede endliche, abelsche Gruppe als direkte
> Summe von zyklischen Gruppen schreiben kann (oder welchen
> Hauptsatz meinten die Vorgänger?).
Genau das ist gemeint.
> Inwiefern hilft das bei der Lösung denn weiter?
Nun, fuer zyklische Gruppen laesst sich die Umkehrung leicht zeigen. Und wenn die Umkehrung fuer zwei Gruppen $G$ und $H$ gilt, dann auch fuer ihr Produkt $G [mm] \times [/mm] H$. Wenn du das beides gezeigt hast, folgt mit dem Hauptsatz die Aussage fuer alle endlichen abelschen Gruppen per Induktion.
LG Felix
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Hätte eine Beweisidee: Sei G=<a> zyklisch und |G|=n und d|n.
Desweiteren sei k=n/d
--> Ord(a)=n, d.h. [mm] a^i=1 \gdw [/mm] n | i [mm] \Rightarrow (a^k)^i [/mm] = 1 [mm] \gdw [/mm] n | k*i [mm] \gdw [/mm] k*d | k*i [mm] \gdw [/mm] d | i.
[mm] \Rightarrow ord(a^k)=d \Rightarrow [/mm] ist zyklische Untergruppe der Ordnung d.
So kann ich das ja "mit anderen Buchstaben" auch für eine zweite Gruppe H zeigen. Dann gilt die Umkehrung des Satzes von Lagrange auch für das Produkt G [mm] \times [/mm] H und jede endliche, abelsche Gruppe kann ich ja in Form eines Produktes von zyklischen Gruppen schreiben (Hauptsatz) [mm] \Rightarrow [/mm] die Umkehrung gilt auch für endliche, abelsche Gruppen.
Ist es das?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:47 Sa 30.11.2013 | | Autor: | imagemixer |
Danke Dir!
Grüße
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
