Satz von Green < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Berechnen Sie
[mm] \integral_{\partial B}^{}{3x^2dx - 4xydy},
[/mm]
wobei B := {(x, y) : 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 4, 0 [mm] \le [/mm] y [mm] \le [/mm] 1}.
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Green-Riemann |
Hallo,
der Satz von Green lautet: [mm] \integral_{c}^{}{Pdx+Qdy}=\integral\integral_{B}^{}{\bruch{dQ}{dx}-\bruch{dP}{dy} dx dy}
[/mm]
ich bin damit zu folgendem Integral gekommen:
[mm] \integral_{0}^{1}\integral_{0}^{4}{-4y - 0 dx dy} [/mm] für [mm] P=3x^2 [/mm] und Q=4xy
Das Ergebnis lautet -8.
Meine Frage ist ob dass so stimmt?
mfg Double
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Hallo DoubleHelix,
> Berechnen Sie
> [mm]\integral_{\partial B}^{}{3x^2dx - 4xydy},[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> wobei B :=
> {(x, y) : 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 4, 0 [mm]\le[/mm] y [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1}.
> Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Green-Riemann
>
> Hallo,
> der Satz von Green lautet:
> [mm]\integral_{c}^{}{Pdx+Qdy}=\integral\integral_{B}^{}{\bruch{dQ}{dx}-\bruch{dP}{dy} dx dy}[/mm]
>
> ich bin damit zu folgendem Integral gekommen:
> [mm]\integral_{0}^{1}\integral_{0}^{4}{-4y - 0 dx dy}[/mm] für
> [mm]P=3x^2[/mm] und Q=4xy
> Das Ergebnis lautet -8.
>
> Meine Frage ist ob dass so stimmt?
Das stimmt so. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> mfg Double
Gruss
MathePower
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Vielen Dank für deine schnelle Hilfe!
Was ist aber wenn der Weg der Kurve eine Elipse ist, also
[mm] \partial [/mm] B = [mm] x^2 [/mm] + [mm] 9*y^2 [/mm] = 9.
Zum Bsp:
Berechnen Sie
[mm] \integral_{\partial B}^{}{y dx - x dy}
[/mm]
wobei [mm] \partial [/mm] B die Ellipse [mm] x^2 [/mm] + [mm] 9*y^2 [/mm] = 9 ist.
Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Green-Riemann
Ich mmuss dann richtig parametrisieren. Stehe aber etwas auf dem Schlauch und weiss nicht wie ich das anpacken soll.
Mein Ansatz:
[mm] \integral\integral_{\partial B}^{}{1 dxdy}
[/mm]
dann die richtigen Wertebereiche für x und y bestimmen jeweils als Grenzen einsetzten und Integral lösen.
bitte um Hilfe.
mfg double
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Hallo DoubeHelix,
> Vielen Dank für deine schnelle Hilfe!
>
>
> Was ist aber wenn der Weg der Kurve eine Elipse ist, also
> [mm]\partial[/mm] B = [mm]x^2[/mm] + [mm]9*y^2[/mm] = 9.
> Zum Bsp:
> Berechnen Sie
> [mm]\integral_{\partial B}^{}{y dx - x dy}[/mm]
>
> wobei [mm]\partial[/mm] B die Ellipse [mm]x^2[/mm] + [mm]9*y^2[/mm] = 9 ist.
> Hinweis: Verwenden Sie den Satz von Green-Riemann
> Ich mmuss dann richtig parametrisieren. Stehe aber etwas
> auf dem Schlauch und weiss nicht wie ich das anpacken
> soll.
Die Gleichung kannst Du nach einer Variablen auflösen,
dann entsteht dort ein Wurzelausdruck. Das sind dann
die Grenzen für die eine Variable.
Diesen Wurzelausdruck untersuchst Du auf Definitheit ([mm]\ge 0[/mm]).
Das sind dann die Grenzen für die andere Variable.
> Mein Ansatz:
> [mm]\integral\integral_{\partial B}^{}{1 dxdy}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]\integral\integral_{\partial B}^{}{\red{-2} dxdy}[/mm]
> dann die richtigen Wertebereiche für x und y bestimmen
> jeweils als Grenzen einsetzten und Integral lösen.
>
> bitte um Hilfe.
>
> mfg double
Gruss
MathePower
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Ok ich habe umgeformt auf:
[mm] x^2 [/mm] = 9 - [mm] 9y^2 [/mm]
=> [mm] x=\wurzel{9 - 9y^2} \ge [/mm] 0
=> [mm] \wurzel{9 - 9y^2} \ge [/mm] 0
=> 9 - [mm] 9y^2 \ge [/mm] 0 [mm] y^2 \ge [/mm] 1
=> y=1, x=0
wei komme ich von da aus weiter?
woher kommt das -2 im Doppelintegral, wenn ich p nach y ableite und q nach x bekomme ich 1 und -1 heraus daraus folgt 1 - (-1) =2 oder?
mfg Double
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Hallo DoubleHelix,
> Ok ich habe umgeformt auf:
>
> [mm]x^2[/mm] = 9 - [mm]9y^2[/mm]
> => [mm]x=\wurzel{9 - 9y^2} \ge[/mm] 0
> => [mm]\wurzel{9 - 9y^2} \ge[/mm] 0
> => 9 - [mm]9y^2 \ge[/mm] 0 [mm]y^2 \ge[/mm] 1
> => y=1, x=0
> wei komme ich von da aus weiter?
>
Die Grenzen von x ergeben sich zu: [mm]\pm3\wurzel{1-y^{2}}[/mm]
Aus dem Wissen, daß [mm]1-y^{2}\ge0[/mm] sein muss.
ergeben sich die Grenzen von y.
> woher kommt das -2 im Doppelintegral, wenn ich p nach y
> ableite und q nach x bekomme ich 1 und -1 heraus daraus
> folgt 1 - (-1) =2 oder?
>
Es ist doch p=y und q=-x.
Damit ist
[mm]\bruch{dq}{dx}-\bruch{dp}{dy}=\left(-1\right)-1=-2[/mm]
> mfg Double
Gruss
MathePower
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Oh ja du hast natürlich recht mit dem -2 *ich bin doof* :-D
die Grenzen ergeben sich zu:
y=+/- 1
und
x=+/- 3
das Integral würde somit lauten:
[mm] \integral_{-1}^{1}\integral_{-3}^{3}{-2 dx dy}=-24
[/mm]
stimmt das?
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Hallo DoubleHelix,
> Oh ja du hast natürlich recht mit dem -2 *ich bin doof*
> :-D
>
> die Grenzen ergeben sich zu:
> y=+/- 1
> und
> x=+/- 3
>
> das Integral würde somit lauten:
> [mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{-3}^{3}{-2 dx dy}=-24[/mm]
>
> stimmt das?
>
Nein, die Grenzen für x sind doch variabel:
[mm]\integral_{-1}^{1}\integral_{-3\red{\wurzel{1-y^{2}}}}^{3\red{\wurzel{1-y^{2}}}}{-2 dx dy}[/mm]
Gruss
MathePower
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