Satz von Green? < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:39 Di 23.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
| Aufgabe | Gegeben ist die Kurve [mm] \gamma [/mm] in [mm] \IR² [/mm] durch [mm] \gamma [/mm] (t) = (t-t²,t-t³) mit [mm] t\in [/mm] [0,1].
Gesucht ist der Flächeninhalt welcher durch die Kurve umschlossen wird. |
Hallo alle zusammen.
Also nach langem hin und her probieren habe ich folgenden Weg gefunden, welcher für mich am einleuchtendsten war:
Gegeben ist doch eine Kurve mit 2 Vektoren:
t-t²
und
t-t³
Ich dachte mir, 2 Vektoren könnte man doch auch durch ein Kreuzprodukt aufeinander legen, somit ergibt sich schon mal die Fläche welche die beiden Vektoren umschließt.
v:=(0,0,(t-t²)*(t-t³))
Nun meine Idee, würde ich das ganze jetzt noch integrieren dann müsste doch eigentlich meine Fläche herauskommen:
[mm] \integral_{0}^{1}{(t-t²)*(t-t³) dt} [/mm] = [mm] \bruch{1}{20}
[/mm]
Die richtige Lösung hierbei wäre 1/60.
Dann habe ich eine andere Überlegung angestellt:
Es gibt ja den Satz von Green welcher mir die Fläche eines Gebietes gibt, welcher nur durch die Randkurve bestimmt wird.
Die Bedingung habe ich auf Wikipedia gefunden:
http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Green
dabei aber der Spezialfall in dem:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial x}=1
[/mm]
Könnte man mit dem hier etwas anfangen? Ich könnte ja sagen, dass ich 2 Funktionen hätte, und meine gegebene parametrisierte Kurve: [mm] \gamma [/mm] in diesem Fall = g ist.
Könnte man so arbeiten oder wäre das gegen jede Regel?
Dankesehr
lg
Zuggel
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hallo Zuggel,
Deine Idee mit "zwei Vektoren" verstehe ich nicht
so recht, aber mit dem Satz von Green sollte dies
gut zu machen sein.
Nach jener Wikipedia-Seite zum ![[]](/images/popup.gif) Satz von Green gilt:
$\ A(S)\ =\ [mm] \integral_S [/mm] 1\ dx\ dy\ =\ [mm] \integral_{\partial{S}}x\ [/mm] dy$
Ich denke, die Anwendung auf dein Beispiel ginge
einfach so:
$\ x(t)\ =\ [mm] t-t^2$
[/mm]
$\ y(t)\ =\ [mm] t-t^3\qquad\dot{y}(t)=1-3*t^2\qquad dy=\dot{y}(t)*dt$
[/mm]
$\ A(S)\ =\ [mm] \integral_{\partial{S}}x\ [/mm] dy\ =\ [mm] \integral_{t=0}^{1}x(t)*\dot{y}(t)\ [/mm] dt\ =\ .......$
Gruß Al
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Hallo Zuggel, hallo Al-Chwarizmi,
ich bin noch nicht vollends überzeugt.
Wenn gilt [mm] A(S)=\integral_S{1\ dx\ dy}=\integral_{\partial{S}}{x\ dy}
[/mm]
müsste mit gleicher Argumentation auch gelten:
[mm] A(S)=\integral_S{1\ dy\ dx}=\integral_{\partial{S}}{y\ dx}
[/mm]
(entsprechend dem Satz von Fubini über die Vertauschung der Integrationsreihenfolge)
Auch Ringintegrale (NB: kann man das Zeichen hier eigentlich darstellen?) sind wegunabhängig.
Nun zeigt sich aber folgendes:
[mm] \integral_{\partial{S}}{y\ dx}=-\integral_{\partial{S}}{x\ dy}
[/mm]
Warum?
Ich hätte noch einen Lösungsweg anzubieten (ganz ohne den Satz von Green), der das gleiche Ergebnis anders herleitet und den Vorzeichenfehler vermeidet, aber dazu vielleicht später.
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> Hallo Zuggel, hallo Al-Chwarizmi,
>
> ich bin noch nicht vollends überzeugt.
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> Wenn gilt [mm]A(S)=\integral_S{1\ dx\ dy}=\integral_{\partial{S}}{x\ dy}[/mm]
>
> müsste mit gleicher Argumentation auch gelten:
>
> [mm]A(S)=\integral_S{1\ dy\ dx}=\integral_{\partial{S}}{y\ dx}[/mm]
>
> (entsprechend dem Satz von Fubini über die Vertauschung der
> Integrationsreihenfolge)
>
> Auch Ringintegrale (NB: kann man das Zeichen hier
> eigentlich darstellen?)
hab' es vorher auch gesucht und nicht gefunden,
vielleicht geht es aber ja trotzdem
> sind wegunabhängig.
>
> Nun zeigt sich aber folgendes:
>
> [mm]\integral_{\partial{S}}{y\ dx}=-\integral_{\partial{S}}{x\ dy}[/mm]
>
> Warum?
>
> Ich hätte noch einen Lösungsweg anzubieten (ganz ohne den
> Satz von Green), der das gleiche Ergebnis anders herleitet
> und den Vorzeichenfehler vermeidet, aber dazu vielleicht
> später.
Hallo reverend,
immerhin geht es ja nur ums Vorzeichen; der Betrag
stimmt jedenfalls. Es ist eine Frage der Orientierung:
Die Drehung, die den Basisvektor [mm] \vec{e}_1 [/mm] in den
Basisvektor [mm] \vec{e}_2 [/mm] überführt, hat den Drehwinkel
[mm] +\bruch{\pi}{2}, [/mm] die umgekehrte Drehung den Winkel [mm] -\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Es muss damit zu tun haben, denke auch an die
Formel [mm] \vec{e}_1\times \vec{e}_2= -\vec{e}_2\times \vec{e}_1 [/mm] !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:48 Di 23.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ja, so scheint es. Dabei wird die Kurve in der gleichen Richtung durchlaufen, von t=0 bis t=1. Mich irritiert es trotzdem, bzw. gerade deswegen.
Hat jemand Interesse am unbegreenten Weg? Gelöst ist die Aufgabe ja nun schon.
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> Ja, so scheint es. Dabei wird die Kurve in der gleichen
> Richtung durchlaufen, von t=0 bis t=1. Mich irritiert es
> trotzdem, bzw. gerade deswegen.
>
> Hat jemand Interesse am unbegreenten Weg? Gelöst ist die
> Aufgabe ja nun schon.
Unbegreent ? Ja gürne, wenn's dir nichts ausmacht.
Aber nur falls du inzwischen wieder gesund oder
wenigstens auf dem aufsteigenden Ast bist 
Al
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:40 Di 23.12.2008 | | Autor: | reverend |
Aber, 's steht doch schon da.
Ansonsten hat mich der Husten nicht mehr, aber ich ihn noch.
[grien] 
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> Aber, 's steht doch schon da
aha. sorry ... LG Al
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:50 Di 23.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
Hallo alle zusammen.
Also Danke für die Antworten, es ist sehr hilfreich.
1. Frage:
Wieso kann ich die Funktion [mm] \gamma [/mm] einfach so aufspalten, es gilt doch die Bedingung:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=0
[/mm]
[mm] \bruch{\partial g}{\partial x}=1
[/mm]
Und das wäre hier doch nicht der Fall...
2. Frage
Was wäre hier die Alternative Methode welche von reverend angesprochen wurde
3. Frage
Wenn ich zB folgende Aufgabe sehe:
Es sei E: {(x,y): [mm] x²+y²\le16, [/mm] (x-1)²+y² > 1, (x+1)²+y²>1}. Wieviel beträgt:
[mm] \bruch{3}{4} [/mm] * [mm] \integral_{\partial + E}^{}{-y dx + x dy}
[/mm]
Ich nehme an, hier sollte man auch Green verwenden... Aber was bedeutet dann:
[mm] \partial [/mm] + E
?
Dankeschön
lg
Zuggel
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Ich nehme an, dass es [mm] \partial_+E [/mm] heißen sollte und würde darunter den Teil des Rands von E verstehen, der im Bereich [mm] x\ge0, y\ge0 [/mm] liegt, also im 1. Quadranten.
Nachtrag: zur 2. Frage schreibe ich jetzt mal, die erste kann aber gern jemand anders beantworten. Die habe ich mir nämlich auch schon gestellt und weiß nicht so recht...
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Nehmen wir an, Du wolltest sozusagen wie gewohnt ein y=f(x) integrieren, also [mm] \integral_{a}^{b}{y dx}.
[/mm]
Im vorliegenden Fall ist die Funktion allerdings so nicht darstellbar. Es handelt sich ja um eine geschlossene Kurve, so dass sie in zwei Äste aufzuspalten ist.
Dass hier zwei genügen, bedarf noch des Nachweises, dass die Kurve kreuzungsfrei ist: [mm] t-t^2=t-t^3 [/mm] darf nur an den Rändern des t-Intervalls gelten. Tut es ja auch: [mm] t^2(t-1)=0 [/mm] gilt nur für t=0 und t=1.
Dennoch lassen sich die Grenzen in x ja darstellen: wir brauchen dazu das Maximum und das Minimum im Intervall [mm] t\in[0;1]. [/mm] Das ist leicht zu bestimmen; man findet [mm] x_{min}=0 [/mm] bei t=0 und t=1, sowie [mm] x_{max}=\bruch{1}{4} [/mm] bei [mm] t=\bruch{1}{2}. [/mm] Damit ist auch die Stelle gefunden, an der wir die Funktion aufteilen werden.
Wie sich gleich zeigt, sind die Grenzen in x aber sonst völlig verzichtbar, da wir substituieren: [mm] x=t-t^2, y=t-t^3
[/mm]
Dann gilt ja [mm] \integral_{x_0}^{x_1}{y(x) dx}=\integral_{t_0}^{t_1}{y(t) dt}
[/mm]
Da y seinen Maximalwert "erst" bei [mm] t=\bruch{\wurzel{3}}{3} [/mm] erreicht, wissen wir, dass der Funktionsast für [mm] \bruch{1}{2}\le t\le1 [/mm] höhere y-Werte hat als der andere Ast.
Die gesuchte Fläche ist dann also:
[mm] \integral_{t=1}^{\bruch{1}{2}}{y(x) dx}-\integral_{t=0}^{\bruch{1}{2}}{y(x) dx}=\integral_{t=1}^{0}{y(t)*(1-2t) dt}=\integral_{1}^{0}{(t-t^3)(1-2t) dt}=\left[\bruch{2}{5}t^5-\bruch{1}{4}t^4-\bruch{2}{3}t^3+\bruch{1}{2}t^2\right]_1^0=
[/mm]
[mm] =0-\left(-\bruch{1}{60}\right)=\bruch{1}{60}
[/mm]
mit [mm] \bruch{dx}{dt}=1-2t \Rightarrow \a{}dx=(1-2t)dt
[/mm]
lg,
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:34 Do 25.12.2008 | | Autor: | Zuggel |
Danke an alle die mir geholfen haben.
Anmerkung:
Ich finde es interessant, dass beim "alternativen Weg" am Ende:
[mm] \integral_{t=1}^{0}{y(t)\cdot{}(1-2t) dt}=\integral_{1}^{0}{(t-t^3)(1-2t) dt}=\left[\bruch{2}{5}t^5-\bruch{1}{4}t^4-\bruch{2}{3}t^3+\bruch{1}{2}t^2\right]_1^0
[/mm]
doch wieder auf die Form von Integral (x(t)*y'(t) dt) gelangen
Danke nochmals
lg
Zuggel
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> Dass hier zwei genügen, bedarf noch des Nachweises, dass
> die Kurve kreuzungsfrei ist: [mm]t-t^2=t-t^3[/mm] darf nur an den
> Rändern des t-Intervalls gelten. Tut es ja auch: [mm]t^2(t-1)=0[/mm]
> gilt nur für t=0 und t=1.
hallo reverend,
das ist wohl nicht ganz die richtige Bedingung
für Kreuzungsfreiheit. Diese müsste lauten:
[mm] $\left( t_1-{t_1}^2\ =\ t_2-{t_2}^2\right)\ [/mm] \ [mm] \wedge\ [/mm] \ [mm] \left(t_1-{t_1}^3\ =\ t_2-{t_2}^3\right)\ [/mm] \ [mm] \Rightarrow\ [/mm] \ [mm] \left(\{t_1,t_2\}=\{0,1\}\ \vee\ t_1=t_2\right)$
[/mm]
lieben Gruß Al
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> 1. Frage:
>
> Wieso kann ich die Funktion [mm]\gamma[/mm] einfach so aufspalten,
> es gilt doch die Bedingung:
>
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=0[/mm]
> [mm]\bruch{\partial g}{\partial x}=1[/mm]
>
> Und das wäre hier doch nicht der Fall...
Bei der Anwendung des Satzes von Green für die
Flächenberechnung erfolgt keine Aufspaltung der
Randkurve oder der Funktion [mm] \gamma [/mm] . Leider ist
im Wiki-Artikel nicht angegeben, welche Funktionen
f und g man genau nehmen soll. Man kann es
aber erraten, dass f(x,y)=0 und g(x,y)=x gemeint
ist.
Man könnte es auch anders machen: Es sei
f(x,y)= -y und g(x,y)= 0
Dann liefert der Greensche Satz auf der linken Seite:
$\ [mm] \integral_S\left(\bruch{\partial g}{\partial x}-\bruch{\partial f}{\partial y}\right)\ [/mm] dx\ dy\ =\ [mm] \integral_S [/mm] 1\ dx\ dy\ = [mm] \mbox{ Flächeninhalt von S } [/mm] $
und auf der rechten Seite:
$\ [mm] \integral_{\partial{S}}(f\ [/mm] dx+g\ dy)\ =\ [mm] \integral_{\partial{S}}(-y\ [/mm] dx+0\ dy)\ =\ [mm] -\integral_{\partial{S}}y\ [/mm] dx$
Also folgt:
[mm] $\mbox{Flächeninhalt von S }=\ -\integral_{\partial{S}}y\ [/mm] dx$
und damit wäre auch die Vorzeichenfrage von
reverend geklärt.
Gruß Al
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