Satz von Gauß, Kugel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 11:44 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Zweiti |
| Aufgabe | | Berechnen Sie das Integral des Vektorfeldes [mm] F:\IR^3\to\IR^3, F(x,y,z):=(x^3,y^3,z^3) [/mm] über die Oberfläche der Kugel vom Radius R>0 mit dem Satz von Gauß. |
Hallo,
ich habe mir erstmal die Parametrisierung für die Kugel überlegt, und hab dafür [mm] \vec{p}=\vektor{r*cos(\gamma)*cos(\delta) \\ r*sin(\gamma)*cos(\delta) \\ r*sin(\delta) }. [/mm] Dann hab ich die div F berechnet, das ergibt sich zu div F= [mm] 3x^2+3y^2+3z^2. [/mm]
Naja und jetzt wollte ich den Satzvon Gauß verwenden:
[mm] \integral_{V}{divF dV}=\integral_{0}^{R}\integral_{-\pi}^{\pi}\integral_{\bruch{-\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{(3r^2*cos^2(\delta)*cos^2(\gamma)+3*r^2*sin^2(\gamma)*cos^2(\delta)+3*r^2*sin^2(\delta))*det(J)}.
[/mm]
Ist das soweit richtig? Ich weiß jetzt leider nicht wie ich auf die Determinante der Jacobimatrix komme, oder besser gesagt, woher ich die Jacobimatrix bekomme.
Danke,
Zweiti
P.S. Hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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> Berechnen Sie das Integral des Vektorfeldes
> [mm]F:\IR^3\to\IR^3, F(x,y,z):=(x^3,y^3,z^3)[/mm] über die
> Oberfläche der Kugel vom Radius R>0 mit dem Satz von
> Gauß.
> Hallo,
>
> ich habe mir erstmal die Parametrisierung für die Kugel
> überlegt, und hab dafür
> [mm]\vec{p}=\vektor{r*cos(\gamma)*cos(\delta) \\ r*sin(\gamma)*cos(\delta) \\ r*sin(\delta) }.[/mm]
> Dann hab ich die div F berechnet, das ergibt sich zu div F=
> [mm]3x^2+3y^2+3z^2.[/mm]
> Naja und jetzt wollte ich den Satzvon Gauß verwenden:
> [mm]\integral_{V}{divF dV}=\integral_{0}^{R}\integral_{-\pi}^{\pi}\integral_{\bruch{-\pi}{2}}^{\bruch{\pi}{2}}{(3r^2*cos^2(\delta)*cos^2(\gamma)+3*r^2*sin^2(\gamma)*cos^2(\delta)+3*r^2*sin^2(\delta))*det(J)}.[/mm]
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> Ist das soweit richtig? Ich weiß jetzt leider nicht wie
> ich auf die Determinante der Jacobimatrix komme, oder
> besser gesagt, woher ich die Jacobimatrix bekomme.
>
> Danke,
> Zweiti
Hallo Zweiti,
ich würde dir für diese Integration einen anderen Weg
vorschlagen, bei welcher man keine Kugelkoordinaten
braucht und mit einem einfachen Integral auskommt.
Es ist $\ [mm] div\,{F}\ [/mm] =\ [mm] 3*(x^2+y^2+z^2)=3*r^2$
[/mm]
Da der Integrand also nur von r abhängig ist, genügt
auch eine Integration über den Radius r. Dabei muss
man nur wissen, dass dann das Volumenelement dV
einer Kugelschale vom Radius r und der Dicke dr berech-
net wird als Oberfläche der Kugelschale [mm] \times [/mm] dr .
LG
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:21 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Zweiti |
Also ich versteh das ganze noch nicht:
Es reicht also nicht [mm] \integral_{0}^{R}{3r^2 dr} [/mm] auszurechnen, oder?
Was meinst du mit:
> Dabei muss
> man nur wissen, dass dann das Volumenelement dV
> einer Kugelschale vom Radius r und der Dicke dr berech-
> net wird als Oberfläche der Kugelschale [mm]\times[/mm] dr .
Grüße
Britta
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> Also ich versteh das ganze noch nicht:
> Es reicht also nicht [mm]\integral_{0}^{R}{3r^2 dr}[/mm]
> auszurechnen, oder?
Nein. Was du brauchst, ist [mm]\integral_{0}^{R}{3r^2\, \red{\mathbf{dV}}}[/mm]
wobei [mm] $\red{\mathbf{dV}}\ [/mm] =\ [mm] \underbrace{4*\pi*r^2}_{Kugeloberfl.}*\ [/mm] dr$
> Was meinst du mit:
> > Dabei muss
> > man nur wissen, dass dann das Volumenelement dV
> > einer Kugelschale vom Radius r und der Dicke dr
> berechnet wird als Oberfläche der Kugelschale [mm]\times[/mm] dr .
>
> Grüße
> Britta
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:57 Mi 09.12.2009 | | Autor: | Zweiti |
D.h. also die korrekte Lösung wäre:
[mm] \integral_{0}^{R}{3r^2 dV}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{R}{3r^24\pi r^2 dr}
[/mm]
[mm] =\bruch{12}{5}*R^5*\pi
[/mm]
Hab ich das jetzt richtig verstanden?
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> D.h. also die korrekte Lösung wäre:
>
> [mm]\integral_{0}^{R}{3r^2 dV}[/mm]
> [mm]=\integral_{0}^{R}{3r^24\pi r^2 dr}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{12}{5}*R^5*\pi[/mm]
>
> Hab ich das jetzt richtig verstanden? ![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
... und du siehst bestimmt, dass dies so wesentlich
einfacher ist als mit den vollen Kugelkoordinaten !
Falls du es doch noch damit nachrechnen willst (zur
Übung für andere Fälle !), dann kannst du das
Volumenelement dV z.B. ![[]](/images/popup.gif) da nachschlagen !
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:20 Fr 11.12.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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