matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenIntegrationstheorieSatz von Gauß - Kugel
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Integrationstheorie" - Satz von Gauß - Kugel
Satz von Gauß - Kugel < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrationstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Satz von Gauß - Kugel: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:47 So 03.02.2013
Autor: exwaldfee

Aufgabe
Betrachten Sie das Vektorfeld:

u = [mm] \vektor{x^3 \\ y^3 \\ z^3} [/mm]

Berechnen Sie den Fluss:

Phi: [mm] \integral_{S}^{}{u* dS} [/mm]

dieses Vektorfeldes nach außen durch die Oberfläche der Kugel S={(x,y,z,) [mm] \in \IR^3; x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] + [mm] z^2 [/mm] = [mm] R^2} [/mm] mit Radius R direkt (d.h. ohne den Satz von Gauss zu verwenden.)

Folgende Identitäten dürfen ohne Beweis verwendet werden:

[mm] sin^4(a) [/mm] = [mm] \bruch{3-4cos(2a)+cos(4a)}{8} [/mm]
[mm] cos^4(a) [/mm] = [mm] \bruch{3+4cos(2a)+cos(4a)}{8} [/mm]

[mm] \integral_{0}^{\pi}{sin^5(a) da}= \bruch{16}{15} [/mm]

Hallo,

Nun habe ich schon einiges von der Aufgabe berechnet.

Bei der Parametrisierung habe ich folgenden Vektor erhalten:   θ

[mm] r^3*\vektor{ sin^3(\theta) cos^3(\phi) \\ sin^3(\theta) sin^3(\phi) \\ cos^3(\theta)} [/mm]

So jetzt muss ich das Skalarprodukt berechnen:

u*dS.

Nach einigen Umformungen komme ich zu der Stelle wo ich nicht mehr weiter weiß...

[mm] \integral_{}^{}{u* dS}= r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [sin^5(\theta)(cos^4(\phi)sin^4(\phi))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi [/mm]

=  [mm] r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [sin^5(\theta)(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi [/mm]

hab also die beiden Identitäten für [mm] sin^4 [/mm] und [mm] cos^4 [/mm] verwendet.

Wie ich das [mm] cos^4(\theta)sin(\theta) [/mm] integrieren kann weiß ich (mithilfe der Substitution z= [mm] cos(\theta). [/mm]

Aber wie ich das andere Integrieren soll, also das [mm] sin^5 [/mm] etc.. weiß ich nicht... Ich hoffe jemand kann mir da ein Tipp geben, ich bin mir sicher dass man das i.wie umformen kann sodass ich [mm] \integral_{0}^{\pi}{sin^5(a) da}= \bruch{16}{15} [/mm] verwenden kann, aber ich weiß nicht wie.

Schon mal danke im voraus!!

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Satz von Gauß - Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:52 So 03.02.2013
Autor: notinX

Hallo,

> Betrachten Sie das Vektorfeld:
>  
> u = [mm]\vektor{x^3 \\ y^3 \\ z^3}[/mm]
>  
> Berechnen Sie den Fluss:
>
> Phi: [mm]\integral_{S}^{}{u* dS}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)


>  
> dieses Vektorfeldes nach außen durch die Oberfläche der
> Kugel S={(x,y,z,) [mm]\in \IR^3; x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] + [mm]z^2[/mm] = [mm]R^2}[/mm] mit
> Radius R direkt (d.h. ohne den Satz von Gauss zu
> verwenden.)
>
> Folgende Identitäten dürfen ohne Beweis verwendet
> werden:
>  
> [mm]sin^4(a)[/mm] = [mm]\bruch{3-4cos(2a)+cos(4a)}{8}[/mm]
>  [mm]cos^4(a)[/mm] = [mm]\bruch{3+4cos(2a)+cos(4a)}{8}[/mm]
>  
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin^5(a) da}= \bruch{16}{15}[/mm]
>  Hallo,
>
> Nun habe ich schon einiges von der Aufgabe berechnet.
>  
> Bei der Parametrisierung habe ich folgenden Vektor
> erhalten:   θ
>  
> [mm]r^3*\vektor{ sin^3(\theta) cos^3(\phi) \\ sin^3(\theta) sin^3(\phi) \\ cos^3(\theta)}[/mm]

das ist nicht die Parametrisierung.

>  
> So jetzt muss ich das Skalarprodukt berechnen:
>  
> u*dS.
>
> Nach einigen Umformungen komme ich zu der Stelle wo ich
> nicht mehr weiter weiß...
>  
> [mm]\integral_{}^{}{u* dS}= r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [sin^5(\theta)(cos^4(\phi)sin^4(\phi))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi[/mm]

[mm] $\Phi=r^{5}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{4}\theta+\sin^{5}\theta\left(\cos^{4}\varphi{\color{red}+}\sin^{4}\varphi\right)\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta$ [/mm]
Versuchs damit nochmal.

>  
> =  [mm]r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [sin^5(\theta)(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi[/mm]
>  
> hab also die beiden Identitäten für [mm]sin^4[/mm] und [mm]cos^4[/mm]
> verwendet.
>
> Wie ich das [mm]cos^4(\theta)sin(\theta)[/mm] integrieren kann weiß
> ich (mithilfe der Substitution z= [mm]cos(\theta).[/mm]
>  
> Aber wie ich das andere Integrieren soll, also das [mm]sin^5[/mm]
> etc.. weiß ich nicht... Ich hoffe jemand kann mir da ein
> Tipp geben, ich bin mir sicher dass man das i.wie umformen
> kann sodass ich [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin^5(a) da}= \bruch{16}{15}[/mm]
> verwenden kann, aber ich weiß nicht wie.

Ich verstehe Dein Problem nicht, das Integral mit [mm] sin^5 [/mm] ist doch angegeben. Das darfst Du einfach so verwenden.

>  
> Schon mal danke im voraus!!
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Satz von Gauß - Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 So 03.02.2013
Autor: exwaldfee

Und warum ist das nicht die Parametrisierung? Ich dachte ich muss dS bestimmen und das ist das Kreuzprodukt aus dr/dr x [mm] dr/d\phi? [/mm]


Oh, jetzt bemerke ich ich habe mich dort vertippt, also bei

> > [mm]\integral_{}^{}{u* dS}= r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [sin^5(\theta)(cos^4(\phi)sin^4(\phi))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi[/mm]
>  
> [mm]\Phi=r^{5}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{4}\theta+\sin^{5}\theta\left(\cos^{4}\varphi{\color{red}+}\sin^{4}\varphi\right)\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta[/mm]
>  Versuchs damit nochmal.
>
> >  

> > =  [mm]r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} \sin^5\theta[(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi[/mm]
>  


Also ich hatte schon [mm] cos(\phi)+sin(\phi) [/mm] stehen, sonst wäre die Umformung [mm] (\bruch{3*cos(4\phi)}{4}) [/mm] ja auch nicht möglich gewesen....

Ich verstehe nicht wie ich das Integrieren soll, weil ich ja

[mm] \sin^5\theta[(\bruch{3*cos(4\phi)}{4})) [/mm]

habe, und das nach [mm] d\phi [/mm] und [mm] d\theta [/mm] integrieren soll. Soll ich dann einfach für [mm] \integral_{0}^{0}{sin^5(\theta) d\theta} [/mm] =16/15 einfügen und dann das Integral von dem Kosinus-Bruch berechnen?

mfg

Bezug
                        
Bezug
Satz von Gauß - Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:25 So 03.02.2013
Autor: notinX


> Oh, jetzt bemerke ich ich habe mich dort vertippt, also
> bei
>  
> > > [mm]\integral_{}^{}{u* dS}= r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} [sin^5(\theta)(cos^4(\phi)sin^4(\phi))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi[/mm]
>  
> >  

> >
> [mm]\Phi=r^{5}\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\sin\theta\cos^{4}\theta+\sin^{5}\theta\left(\cos^{4}\varphi{\color{red}+}\sin^{4}\varphi\right)\,\mathrm{d}\varphi\mathrm{d}\theta[/mm]
>  >  Versuchs damit nochmal.
> >
> > >  

> > > =  [mm]r^5* \integral_{0}^{2\pi}\integral_{0}^{\pi} \sin^5\theta[(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))+cos^4(\theta)sin(\theta)] d\theta d\phi[/mm]
>  
> >  

>
>
> Also ich hatte schon [mm]cos(\phi)+sin(\phi)[/mm] stehen, sonst
> wäre die Umformung [mm](\bruch{3*cos(4\phi)}{4})[/mm] ja auch nicht
> möglich gewesen....

Die Umformung ist trotzdem faslch. Es gilt:
[mm] $\ensuremath{\frac{3-4\cos2a+\cos4a}{8}+\frac{3+4\cos2a+\cos4a}{8}\neq\frac{3\cos4a}{4}}$ [/mm]

>
> Ich verstehe nicht wie ich das Integrieren soll, weil ich
> ja
>
> [mm]\sin^5\theta[(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))[/mm]
>
> habe, und das nach [mm]d\phi[/mm] und [mm]d\theta[/mm] integrieren soll. Soll

Bei der [mm] $\theta$-Integration [/mm] spielt doch der Term in der Klammer überhaupt keine Rolle, weil (bezüglich [mm] $\theta$) [/mm] konstant.

> ich dann einfach für [mm]\integral_{0}^{0}{sin^5(\theta) d\theta}[/mm]

Nein, das wäre =0. Integriere von 0 bis [mm] $\pi$ [/mm]

> =16/15 einfügen und dann das Integral von dem
> Kosinus-Bruch berechnen?

Das ist doch gerade das Integral vor dem cosinus-Bruch...

>  
> mfg  

Gruß,

notinX

Bezug
                                
Bezug
Satz von Gauß - Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:51 So 03.02.2013
Autor: exwaldfee


> Die Umformung ist trotzdem faslch. Es gilt:
>  
> [mm]\ensuremath{\frac{3-4\cos2a+\cos4a}{8}+\frac{3+4\cos2a+\cos4a}{8}\neq\frac{3\cos4a}{4}}[/mm]
>  
> >

Ich hab mich wieder vertippt, ich meinte [mm] \bruch{3+cos(4*\phi)}{4} [/mm]

> > Ich verstehe nicht wie ich das Integrieren soll, weil ich
> > ja
> >
> > [mm]\sin^5\theta[(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))[/mm]
> >
> > habe, und das nach [mm]d\phi[/mm] und [mm]d\theta[/mm] integrieren soll. Soll
>
> Bei der [mm]\theta[/mm]-Integration spielt doch der Term in der
> Klammer überhaupt keine Rolle, weil (bezüglich [mm]\theta[/mm])
> konstant.
>  
> > ich dann einfach für [mm]\integral_{0}^{0}{sin^5(\theta) d\theta}[/mm]
>
> Nein, das wäre =0. Integriere von 0 bis [mm]\pi[/mm]
>  
> > =16/15 einfügen und dann das Integral von dem
> > Kosinus-Bruch berechnen?
>  
> Das ist doch gerade das Integral vor dem cosinus-Bruch...
>  

Also ich betrachte bei der Integration nach [mm] \theta [/mm] den Cos Bruch als Konstante, integriere nach [mm] sin^5 [/mm] und erhalte 16/15, und dann kann ich einfach den Cosinus Bruch nach Phi integrieren. Oder?

Und wie war das mit der Parametrisierung, was war da falsch?


Mfg  


Bezug
                                        
Bezug
Satz von Gauß - Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 So 03.02.2013
Autor: notinX


> > Die Umformung ist trotzdem faslch. Es gilt:
>  >  
> >
> [mm]\ensuremath{\frac{3-4\cos2a+\cos4a}{8}+\frac{3+4\cos2a+\cos4a}{8}\neq\frac{3\cos4a}{4}}[/mm]
>  >  
> > >
>
> Ich hab mich wieder vertippt, ich meinte
> [mm]\bruch{3+cos(4*\phi)}{4}[/mm]

[ok]

>  
> > > Ich verstehe nicht wie ich das Integrieren soll, weil ich
> > > ja
> > >
> > > [mm]\sin^5\theta[(\bruch{3*cos(4\phi)}{4}))[/mm]
> > >
> > > habe, und das nach [mm]d\phi[/mm] und [mm]d\theta[/mm] integrieren soll. Soll
> >
> > Bei der [mm]\theta[/mm]-Integration spielt doch der Term in der
> > Klammer überhaupt keine Rolle, weil (bezüglich [mm]\theta[/mm])
> > konstant.
>  >  
> > > ich dann einfach für [mm]\integral_{0}^{0}{sin^5(\theta) d\theta}[/mm]
> >
> > Nein, das wäre =0. Integriere von 0 bis [mm]\pi[/mm]
>  >  
> > > =16/15 einfügen und dann das Integral von dem
> > > Kosinus-Bruch berechnen?
>  >  
> > Das ist doch gerade das Integral vor dem cosinus-Bruch...
>  >  
> Also ich betrachte bei der Integration nach [mm]\theta[/mm] den Cos
> Bruch als Konstante, integriere nach [mm]sin^5[/mm] und erhalte
> 16/15, und dann kann ich einfach den Cosinus Bruch nach Phi
> integrieren. Oder?

Genau.

>  
> Und wie war das mit der Parametrisierung, was war da
> falsch?

Eine Parametrisierung einer Fläche S im Raum ist eine Funktion [mm] $\phi:\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{3}$ [/mm] mit [mm] $I_1,I_2\subset\mathbb [/mm] R$ für die gilt: [mm] $\phi(I_1\times I_2)=S$. [/mm]
Mit anderen Worten: Eine Funktion von zwei Variablen deren Bild der Fläche entspricht.
Trifft das auf Deine 'Parametrisierung' zu?

>  
>
> Mfg  
>  

Gruß,

notinX

Bezug
                
Bezug
Satz von Gauß - Kugel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:22 So 03.02.2013
Autor: exwaldfee

Okay, danke.

Wie muss ich das denn richtig parametrisieren? Ich hab jetzt

r= [mm] \vektor{r*sin\thetacos\phi \\ rsin\theta sin\phi \\ rcos\theta} [/mm]

Dann hab ich r nach [mm] \phi [/mm] und [mm] \theta [/mm] abgeleitet. Das Kreuzprodukt von den beiden genommen und bekam

[mm] \vektor{r^2sin^2\theta cos\phi \\ r^2sin^2\theta sin \phi \\ r^2 cps\theta sin \theta} [/mm] heraus....

Ist das etwa falsch?

Bezug
                        
Bezug
Satz von Gauß - Kugel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:34 So 03.02.2013
Autor: notinX


> Okay, danke.
>  
> Wie muss ich das denn richtig parametrisieren? Ich hab
> jetzt
>
> r= [mm]\vektor{r*sin\thetacos\phi \\ rsin\theta sin\phi \\ rcos\theta}[/mm]

Das ist eine ziemlich schlampige Notation. Da könnte man r rauskürzen und hätte noch größeren Unsinn da stehen.
Die korrekte Parametrisierung sieht so aus:
[mm] $\gamma(\varphi,\theta)=R\left(\begin{array}{c} \cos\varphi\sin\theta\\ \sin\varphi\sin\theta\\ \cos\theta \end{array}\right) [/mm]
mit [mm] $\varphi\in[0,2\pi]$ [/mm] und [mm] $\theta\in[0,\pi]$. [/mm]

>  
> Dann hab ich r nach [mm]\phi[/mm] und [mm]\theta[/mm] abgeleitet. Das
> Kreuzprodukt von den beiden genommen und bekam
>
> [mm]\vektor{r^2sin^2\theta cos\phi \\ r^2sin^2\theta sin \phi \\ r^2 cps\theta sin \theta}[/mm]
> heraus....
>  
> Ist das etwa falsch?

Die Rechnung ist korrekt (davon abgesehen, dass der Radius R ist und nicht r). Das ist aber nicht die Parametrisierung, sondern das vektorielle Flächenelement [mm] $\mathrm{d}\vec [/mm] S$.

Gruß,

notinX

Bezug
                                
Bezug
Satz von Gauß - Kugel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:44 Mi 06.02.2013
Autor: exwaldfee

Okay, hab alles verstanden, vielen Dank :)

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integrationstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]