Satz von Gauß < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] \Omega [/mm] die Kugel mit dem Radius R um den Nullpunkt und n die äußere Einheitsnormale auf [mm] \partial\Omega. [/mm] Berechne das Oberflächenintegral [mm] \int_{\partial\Omega}(x^3,y^3,z^3)*ndo
[/mm]
a) durch Anwendung des Gaußschen Integralsatzes
b) direkt mittels einer geeigneten Parametrisierung von [mm] \partial\Omega. [/mm] |
Hallo,
folgende Rechnung habe ich bzgl der Aufgabe durchgeführt, doch i-wo steckt der Fehler. Wäre super, wenn mir jemand unter die Arme greift:
a)
Satz von Gauß: [mm] \int_\Omega\mathrm{div}vdx=\int_{\partial\Omega}v*ndo
[/mm]
Es ist [mm] v=(x^3,y^3,z^3)
[/mm]
Ich berechne [mm] $\mathrm{div}\ v=3x^2+3y^2+3z^2
[/mm]
Damit geht das Integral über in
[mm] I:=3\int_\Omega(x^2+y^2+z^2)d(x,y,z)
[/mm]
Integriert werden soll über die Kugel [mm] K_R(0)=\{ (x,y,z)\in\IR^3|\ x^2+y^2+z^2\le R^2 \}
[/mm]
Ich gehe über zu Kugelkoordinaten:
[mm] (r,\theta,\phi)\to(r\sin\theta\cos\phi,\ r\sin\theta\sin\phi,\ r\cos\theta), [/mm] wobei [mm] r\in(0,R),\ \theta\in(0,\pi) [/mm] und [mm] \phi\in(0,2\pi).
[/mm]
Damit ergibt sich
[mm] $I=3\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}(r^2\sin^2\theta\cos^2\phi+r^2\sin^2\theta\sin^2\phi+r^2\cos^2\theta)*r^2\sin\theta\ \mathrm{d}\phi\ \mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}r$
[/mm]
[mm] $=3\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}r^4\sin\theta\ \mathrm{d}\phi\ \mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}r$
[/mm]
[mm] $=3*2\pi*2*\frac{R^5}{5}=\underline{\frac{12\pi}{5}R^5}$
[/mm]
b)
Die Parametrisierung von [mm] \partial\Omega [/mm] sieht wie folgt aus
[mm] F:=\partial\Omega=\{(x,y,z)\in\IR^3|\ x=R\sin\theta\cos\phi,\ y=R\sin\theta\sin\phi,\ z=R\cos\theta,\ \theta\in(0,\pi),\ \phi\in(0,2\pi))\}
[/mm]
Berechne den Normalenvektor:
[mm] n=F_\theta\times{F_\phi}=\vektor{R\cos\theta\cos\phi \\ R\cos\theta\sin\phi \\ -R\sin\theta}\times\vektor{-R\sin\theta\sin\phi \\ R\sin\theta\cos\phi \\0}
[/mm]
[mm] =\vektor{ R^2\sin^2\theta\cos\phi \\ R^2\sin^2\theta\sin\phi \\ R^2\cos\theta\sin\theta\cos^2\phi+R^2\cos\theta\sin\theta\sin^2\phi \\}
[/mm]
[mm] =\vektor{ R^2\sin^2\theta\cos\phi \\ R^2\sin^2\theta\sin\phi \\ R^2\cos\theta\sin\theta}
[/mm]
Jetzt folgt die Berechnung des Integrals
[mm] \int{}v(F(\theta,\phi))\cdot{}n\cdot{}d(\theta,\phi)
[/mm]
[mm] =\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\vektor{R^3\sin^3\theta\cos^3\phi \\ R^3\sin^3\theta\sin^3\phi \\ R^3\cos^3\theta}*\vektor{R^2\sin^2\theta\cos\phi \\ R^2\sin^2\theta\sin\phi \\ R^2\cos\theta\sin\theta}\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi
[/mm]
[mm] =R^5\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}(\sin^5\theta\cos^4\phi+\sin^5\theta\sin^4\phi+\cos^3\theta\sin\theta\cos\phi)\mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}\phi
[/mm]
[mm] =\underline{\frac{8\pi}{5}R^5}
[/mm]
Große Rätselfrage: Wo ist der Fehler? - Oder hat sich Gauß mit dem Satz doch geirrt? Da ich das bezweifel, zweifel ich an mir ;)
Wäre super, wenn ihr eventll. den Fehler findet.
Schöne Grüße!
|
|
| |
|
Hallo Richie1401,
> Sei [mm]\Omega[/mm] die Kugel mit dem Radius R um den Nullpunkt und
> n die äußere Einheitsnormale auf [mm]\partial\Omega.[/mm] Berechne
> das Oberflächenintegral
> [mm]\int_{\partial\Omega}(x^3,y^3,z^3)*ndo[/mm]
>
> a) durch Anwendung des Gaußschen Integralsatzes
>
> b) direkt mittels einer geeigneten Parametrisierung von
> [mm]\partial\Omega.[/mm]
> Hallo,
>
> folgende Rechnung habe ich bzgl der Aufgabe durchgeführt,
> doch i-wo steckt der Fehler. Wäre super, wenn mir jemand
> unter die Arme greift:
>
> a)
> Satz von Gauß:
> [mm]\int_\Omega\mathrm{div}vdx=\int_{\partial\Omega}v*ndo[/mm]
>
> Es ist [mm]v=(x^3,y^3,z^3)[/mm]
>
> Ich berechne [mm]$\mathrm{div}\ v=3x^2+3y^2+3z^2[/mm]
>
> Damit geht das Integral über in
>
> [mm]I:=3\int_\Omega(x^2+y^2+z^2)d(x,y,z)[/mm]
>
> Integriert werden soll über die Kugel [mm]K_R(0)=\{ (x,y,z)\in\IR^3|\ x^2+y^2+z^2\le R^2 \}[/mm]
>
> Ich gehe über zu Kugelkoordinaten:
> [mm](r,\theta,\phi)\to(r\sin\theta\cos\phi,\ r\sin\theta\sin\phi,\ r\cos\theta),[/mm]
> wobei [mm]r\in(0,R),\ \theta\in(0,\pi)[/mm] und [mm]\phi\in(0,2\pi).[/mm]
>
> Damit ergibt sich
>
> [mm]I=3\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}(r^2\sin^2\theta\cos^2\phi+r^2\sin^2\theta\sin^2\phi+r^2\cos^2\theta)*r^2\sin\theta\ \mathrm{d}\phi\ \mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}r[/mm]
>
> [mm]=3\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}r^4\sin\theta\ \mathrm{d}\phi\ \mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}r[/mm]
>
> [mm]=3*2\pi*2*\frac{R^5}{5}=\underline{\frac{12\pi}{5}R^5}[/mm]
>
>
> b)
>
> Die Parametrisierung von [mm]\partial\Omega[/mm] sieht wie folgt
> aus
>
> [mm]F:=\partial\Omega=\{(x,y,z)\in\IR^3|\ x=R\sin\theta\cos\phi,\ y=R\sin\theta\sin\phi,\ z=R\cos\theta,\ \theta\in(0,\pi),\ \phi\in(0,2\pi))\}[/mm]
>
> Berechne den Normalenvektor:
>
> [mm]n=F_\theta\times{F_\phi}=\vektor{R\cos\theta\cos\phi \\ R\cos\theta\sin\phi \\ -R\sin\theta}\times\vektor{-R\sin\theta\sin\phi \\ R\sin\theta\cos\phi \\0}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{ R^2\sin^2\theta\cos\phi \\ R^2\sin^2\theta\sin\phi \\ R^2\cos\theta\sin\theta\cos^2\phi+R^2\cos\theta\sin\theta\sin^2\phi \\}[/mm]
>
> [mm]=\vektor{ R^2\sin^2\theta\cos\phi \\ R^2\sin^2\theta\sin\phi \\ R^2\cos\theta\sin\theta}[/mm]
>
>
> Jetzt folgt die Berechnung des Integrals
>
> [mm]\int{}v(F(\theta,\phi))\cdot{}n\cdot{}d(\theta,\phi)[/mm]
>
> [mm]=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\vektor{R^3\sin^3\theta\cos^3\phi \\ R^3\sin^3\theta\sin^3\phi \\ R^3\cos^3\theta}*\vektor{R^2\sin^2\theta\cos\phi \\ R^2\sin^2\theta\sin\phi \\ R^2\cos\theta\sin\theta}\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi[/mm]
>
>
> [mm]=R^5\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}(\sin^5\theta\cos^4\phi+\sin^5\theta\sin^4\phi+\cos^3\theta\sin\theta\cos\phi)\mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}\phi[/mm]
>
Der letzte Summand muss doch lauten:
[mm]\cos^3\theta\sin\theta\cos\left(\blue{\theta}\right)=\cos^4\theta\sin\theta[/mm]
> [mm]=\underline{\frac{8\pi}{5}R^5}[/mm]
>
>
>
> Große Rätselfrage: Wo ist der Fehler? - Oder hat sich
> Gauß mit dem Satz doch geirrt? Da ich das bezweifel,
> zweifel ich an mir ;)
>
> Wäre super, wenn ihr eventll. den Fehler findet.
>
> Schöne Grüße!
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:28 Mi 12.12.2012 | | Autor: | Richie1401 |
> Hallo Richie1401,
>
> > Sei [mm]\Omega[/mm] die Kugel mit dem Radius R um den Nullpunkt und
> > n die äußere Einheitsnormale auf [mm]\partial\Omega.[/mm] Berechne
> > das Oberflächenintegral
> > [mm]\int_{\partial\Omega}(x^3,y^3,z^3)*ndo[/mm]
> >
> > a) durch Anwendung des Gaußschen Integralsatzes
> >
> > b) direkt mittels einer geeigneten Parametrisierung von
> > [mm]\partial\Omega.[/mm]
> > Hallo,
> >
> > folgende Rechnung habe ich bzgl der Aufgabe durchgeführt,
> > doch i-wo steckt der Fehler. Wäre super, wenn mir jemand
> > unter die Arme greift:
> >
> > a)
> > Satz von Gauß:
> > [mm]\int_\Omega\mathrm{div}vdx=\int_{\partial\Omega}v*ndo[/mm]
> >
> > Es ist [mm]v=(x^3,y^3,z^3)[/mm]
> >
> > Ich berechne [mm]$\mathrm{div}\ v=3x^2+3y^2+3z^2[/mm]
> >
> > Damit geht das Integral über in
> >
> > [mm]I:=3\int_\Omega(x^2+y^2+z^2)d(x,y,z)[/mm]
> >
> > Integriert werden soll über die Kugel [mm]K_R(0)=\{ (x,y,z)\in\IR^3|\ x^2+y^2+z^2\le R^2 \}[/mm]
>
> >
> > Ich gehe über zu Kugelkoordinaten:
> > [mm](r,\theta,\phi)\to(r\sin\theta\cos\phi,\ r\sin\theta\sin\phi,\ r\cos\theta),[/mm]
> > wobei [mm]r\in(0,R),\ \theta\in(0,\pi)[/mm] und [mm]\phi\in(0,2\pi).[/mm]
> >
> > Damit ergibt sich
> >
> >
> [mm]I=3\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}(r^2\sin^2\theta\cos^2\phi+r^2\sin^2\theta\sin^2\phi+r^2\cos^2\theta)*r^2\sin\theta\ \mathrm{d}\phi\ \mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}r[/mm]
>
> >
> > [mm]=3\int_{0}^{R}\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{2\pi}r^4\sin\theta\ \mathrm{d}\phi\ \mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}r[/mm]
>
> >
> > [mm]=3*2\pi*2*\frac{R^5}{5}=\underline{\frac{12\pi}{5}R^5}[/mm]
> >
> >
> > b)
> >
> > Die Parametrisierung von [mm]\partial\Omega[/mm] sieht wie folgt
> > aus
> >
> > [mm]F:=\partial\Omega=\{(x,y,z)\in\IR^3|\ x=R\sin\theta\cos\phi,\ y=R\sin\theta\sin\phi,\ z=R\cos\theta,\ \theta\in(0,\pi),\ \phi\in(0,2\pi))\}[/mm]
>
> >
> > Berechne den Normalenvektor:
> >
> > [mm]n=F_\theta\times{F_\phi}=\vektor{R\cos\theta\cos\phi \\ R\cos\theta\sin\phi \\ -R\sin\theta}\times\vektor{-R\sin\theta\sin\phi \\ R\sin\theta\cos\phi \\0}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\vektor{ R^2\sin^2\theta\cos\phi \\ R^2\sin^2\theta\sin\phi \\ R^2\cos\theta\sin\theta\cos^2\phi+R^2\cos\theta\sin\theta\sin^2\phi \\}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\vektor{ R^2\sin^2\theta\cos\phi \\ R^2\sin^2\theta\sin\phi \\ R^2\cos\theta\sin\theta}[/mm]
>
> >
> >
> > Jetzt folgt die Berechnung des Integrals
> >
> > [mm]\int{}v(F(\theta,\phi))\cdot{}n\cdot{}d(\theta,\phi)[/mm]
> >
> >
> [mm]=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}\vektor{R^3\sin^3\theta\cos^3\phi \\ R^3\sin^3\theta\sin^3\phi \\ R^3\cos^3\theta}*\vektor{R^2\sin^2\theta\cos\phi \\ R^2\sin^2\theta\sin\phi \\ R^2\cos\theta\sin\theta}\mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi[/mm]
>
> >
> >
> >
> [mm]=R^5\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\pi}(\sin^5\theta\cos^4\phi+\sin^5\theta\sin^4\phi+\cos^3\theta\sin\theta\cos\phi)\mathrm{d}\theta\ \mathrm{d}\phi[/mm]
>
> >
>
>
> Der letzte Summand muss doch lauten:
>
> [mm]\cos^3\theta\sin\theta\cos\left(\blue{\theta}\right)=\cos^4\theta\sin\theta[/mm]
Hallo Mathepower,
diese elenden kleiner Fehler.
Danke dir. Ich habe mich dumm und dämlich gesucht.
Kurze Überprüfung zeigt dann, dass nun das richtige Ergebnis herauskommt. Wunderbar.
So, nun noch einmal Satz von Stokes und dann Schicht im Schacht.
Danke!
>
>
> > [mm]=\underline{\frac{8\pi}{5}R^5}[/mm]
> >
> >
> >
> > Große Rätselfrage: Wo ist der Fehler? - Oder hat sich
> > Gauß mit dem Satz doch geirrt? Da ich das bezweifel,
> > zweifel ich an mir ;)
> >
> > Wäre super, wenn ihr eventll. den Fehler findet.
> >
> > Schöne Grüße!
>
>
> Gruss
> MathePower
|
|
|
|
