Satz von Gauß < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Di 03.02.2009 | | Autor: | Zander |
| Aufgabe | Gegeben ist die Halbkugel H= [mm] \{ (x,y,z)|x^2+y^2+z^2 \le 1, z \ge 0 \} [/mm] und das Vektorfeld [mm] \vec{v}=\vektor{x+y\\y-x\\z^3}.
[/mm]
Berechnen sie [mm] \integral_{\partial H}{\vec{v}d\vec{o}} [/mm] |
Ich hab das Intergral zuerst dierkt gelöst, also den Fluß durch die Oberfläche mit Hilfe eines Kurvenintegrals berechnet und hatte [mm] \bruch{7}{4}\pi^2 [/mm] raus.
Dann hab ich es mit dem Satz von Gauß versucht:
[mm] div\vec{v}= 3z^2+2
[/mm]
[mm] \int{\int{\int{(3z^2+2)}}d(x,y,z)} [/mm]
Zur integration habe ich die Kugelkoordinaten verwendet.
= [mm] \integral_{\theta = -\pi/2}^{\pi/2}{\integral_{\phi=0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{1}{(3rsin^2(\theta)+2)*r^2 cos(\theta) drd\phi d\theta}}} [/mm] = [mm] \bruch{25}{6}\pi
[/mm]
Ist das Ergebnis, welches ich mit dem Satz von Gauß ausgerechnet habe richtig?
Denn es stimmt mit dem anderen nicht überein.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 Di 03.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Gegeben ist die Halbkugel H= [mm]\{ (x,y,z)|x^2+y^2+z^2 \le 1, z \ge 0 \}[/mm]
> und das Vektorfeld [mm]\vec{v}=\vektor{x+y\\y-x\\z^3}.[/mm]
> Berechnen sie [mm]\integral_{\partial H}{\vec{v}d\vec{o}}[/mm]
> Ich
> hab das Intergral zuerst dierkt gelöst, also den Fluß durch
> die Oberfläche mit Hilfe eines Kurvenintegrals berechnet
> und hatte [mm]\bruch{7}{4}\pi^2[/mm] raus.
Das versteh ich nicht: Wie hast du das mit einem Kurvenintegral ausgerechnet? Poste mal den Rechenweg!
>
> Dann hab ich es mit dem Satz von Gauß versucht:
>
> [mm]div\vec{v}= 3z^2+2[/mm]
>
> [mm]\int{\int{\int{(3z^2+2)}}d(x,y,z)}[/mm]
>
> Zur integration habe ich die Kugelkoordinaten verwendet.
>
> = [mm]\integral_{\theta = -\pi/2}^{\pi/2}{\integral_{\phi=0}^{2\pi}{\integral_{r=0}^{1}{(3rsin^2(\theta)+2)*r^2 cos(\theta) drd\phi d\theta}}}[/mm]
Der erste Faktor $r$ muss [mm] $r^2$ [/mm] sein, und dann integrierst du hier über die Vollkugel, nicht über die Halbkugel.
> = [mm]\bruch{25}{6}\pi[/mm]
Das hast du dich verrechnet. Ich bekomme [mm] $\bruch{26}{15}\pi$ [/mm] heraus.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Di 03.02.2009 | | Autor: | Zander |
Ich habe zunächst den Rand des Gebietes in zwei Teile unterteil, die Halbkugeloberfläche und die Bodenfläche.
Dann mit Kugelkoordinaten Parametrisiert:
Halbkugeloberfläche: [mm] \vec{r}(\theta,\phi)=\vektor{cos\phi * cos\theta \\ sin\phi * cos\theta \\ sin\theta}
[/mm]
Dann jeweils nach [mm] \phi [/mm] und nach [mm] \theta [/mm] ableiten um die Tangentialvektoren zu erhalten und dann das Kreuzprodukt bilden, um den Normalenvektor zu erhalten. Dann noch normieren.
[mm] \vec{n} [/mm] = [mm] \frac{\vec{r}_{\phi} \times \vec{r}_{\theta}}{|\vec{r}_{\phi} \times \vec{r}_{\theta}|} [/mm] = [mm] \frac{1}{cos\theta} [/mm] * [mm] \vektor{cos\phi * cos^2 \theta \\ sin\phi * cos^2 \theta \\ cos\theta * sin\theta}
[/mm]
Dabei muss [mm] \vec{n} [/mm] aus dem Gebiet rauszeigen.
Jetzt kann man das Kurvenintegral ausrechnen:
[mm] \int{\int{\vec{v}(\vec{r})*\vec{n} d\phi d\theta}}
[/mm]
Die bodenfläche hab ich dann etwas anders parametriesiert.
Blöderweise hab ich auch bei dieser Rechnung die Grenzen für eine volle Kugel benutzt.
Über die Halbkugel integriert ergibt dann [mm] \frac{7}{8}\pi^2 [/mm] .
Das Integral der Bodenfläche ergibt Null.
Trotzdem kann das Ergebnis mit dem Gauß nicht übereinstimmen, weil das [mm] \pi^2 [/mm] nicht sein kann beim Gauß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:56 Di 03.02.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe zunächst den Rand des Gebietes in zwei Teile
> unterteil, die Halbkugeloberfläche und die Bodenfläche.
>
> Dann mit Kugelkoordinaten Parametrisiert:
>
> Halbkugeloberfläche: [mm]\vec{r}(\theta,\phi)=\vektor{cos\phi * cos\theta \\ sin\phi * cos\theta \\ sin\theta}[/mm]
>
> Dann jeweils nach [mm]\phi[/mm] und nach [mm]\theta[/mm] ableiten um die
> Tangentialvektoren zu erhalten und dann das Kreuzprodukt
> bilden, um den Normalenvektor zu erhalten. Dann noch
> normieren.
>
> [mm]\vec{n}[/mm] = [mm]\frac{\vec{r}_{\phi} \times \vec{r}_{\theta}}{|\vec{r}_{\phi} \times \vec{r}_{\theta}|}[/mm]
> = [mm]\frac{1}{cos\theta}[/mm] * [mm]\vektor{cos\phi * cos^2 \theta \\ sin\phi * cos^2 \theta \\ cos\theta * sin\theta}[/mm]
>
> Dabei muss [mm]\vec{n}[/mm] aus dem Gebiet rauszeigen.
>
> Jetzt kann man das Kurvenintegral ausrechnen:
> [mm]\int{\int{\vec{v}(\vec{r})*\vec{n} d\phi d\theta}}[/mm]
Genaugenommen ist das kein Kurvenintegral, sondern ein Oberflächenintegral.
Wenn du den Normaleneinheitsvektor [mm] $\vec{n}$ [/mm] nimmst, dann steckt in deinem Flächenelement noch die Jacobideterminante der Parametrisierung. Die ist gerade [mm] $|\vec{r}_{\phi} \times \vec{r}_{\theta}| [/mm] = [mm] \cos\theta$. [/mm] Diesen Faktor [mm] $\cos\theta$ [/mm] hast du in deinem Oberflächenintegral vergessen.
Viele Grüße
Rainer
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