Satz von Fubini < Versicherungsmat < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:28 Mi 20.10.2004 | | Autor: | regine |
Hallo,
nachdem ich mich nun 2 Jahre überhaupt nicht mehr mit Stochastik beschäftigt habe, muß ich mich nun mit Versicherungsmathematik beschäftigen.
Ich sitze an folgender Aufgabe:
Gegeben seien $F, G: [mm] \IR \to \IR$. [/mm] Ich muß nun mit dem Satz von Fubini zeigen, dass Folgendes gilt:
$ [mm] \integral_{(a,b]} [/mm] G(x) F(dx) = F(b)G(b) - F(a)G(a) - [mm] \integral_{(a,b]} [/mm] F(y-0)G(dy)$ für alle $- [mm] \infty
Es wäre prima, wenn mir jemand mal in "eigenen Worten" den Satz von Fubini erklären könnte und dann sehen wir weiter. 
Danke und viele Grüße,
Regine.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:00 Mi 20.10.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Regine!
Nachdem du als einzige hier nett nur nach den Hintergründen der Aufgabe (und nicht sofort nach der Lösung) gefragt hast, ich aber umgekehrt heute schon mehreren Leuten, die nur dreist nach der Lösung gefragt haben, ebendiese präsentiert habe, fände ich es jetzt unfair dich nur mit dem Satz von Fubini abzuspeisen. 
Der Satz von Fubini sagt im Wesentlichen aus, dass man bei einem Doppelintegral unter bestimmten Voraussetzungen die Integrationsreihenfolge vertauschen darf.
Hier die Lösung der Aufgabe (die auch für mich eine zwar sehr einfache, aber durchaus nette Übung ist, um mit Riemann-Stieltjes-Integralen ein bisschen rumzurechnen... ). Frage nach, wenn dir was unklar ist.
[mm] $\int\limits_{(a,b]} G(x)\, [/mm] F(dx)$
$= [mm] \int \limits_{(a,b]} [/mm] (G(x) - [mm] G(a))\, [/mm] F(dx) + [mm] \int\limits_{(a,b]} G(a)\, [/mm] F(dx)$
$= [mm] \int \limits_{(a,b]} \int\limits_{(a,x]} 1\, [/mm] dG(y) [mm] \, [/mm] dF(x) + G(a) [mm] \cdot [/mm] (F(b) - F(a))$
[mm] $\stackrel{(Fubini)}{=} \int \limits_{(a,b]} \int\limits_{[y,b]} 1\, [/mm] dF(x) [mm] \, [/mm] dG(y) + G(a)F(b) - G(a)F(a)$
$= [mm] \int\limits_{(a,b]} [/mm] (F(b) - [mm] F(y-0))\, [/mm] dG(y) + G(a)F(b) - G(a)F(a)$
$= [mm] \int\limits_{(a,b]} [/mm] F(b) [mm] \, [/mm] dG(y) - [mm] \int\limits_{(a,b]} F(y-0)\, [/mm] dG(y) + G(a)F(b) - G(a) F(a)$
$= F(b) [mm] \cdot [/mm] (G(b) - G(a)) - [mm] \int\limits_{(a,b]} F(y-0)\, [/mm] dG(y) + G(a)F(b) - G(a) F(a)$
$= F(b)G(b) - F(b) G(a) - [mm] \int\limits_{(a,b]} F(y-0)\, [/mm] dG(y) + G(a)F(b) - G(a) F(a)$
$= F(b)G(b) - F(a)G(a) - [mm] \int\limits_{(a,b]} F(y-0)\, [/mm] dG(y)$.
Liebe Grüße
Stefan
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Hallo Regine,
deine Frage ist zwar schon etwas her aber hier die Voraussetzungen des Satzes von Fubini (hier aufgeschrieben für zwei Dimensionen, aber er gilt analog in [mm] \IR^2 [/mm] ).
Seien [mm]f(x,y):\IR^2\rightarrow\IR[/mm] stetig, I ein abgeschlossener Quader in [mm] \IR^2 [/mm] , d.h. [mm]I=[a_1,b_1]\times[a_2,b_2][/mm] mit [mm]a_i,b_i\in\IR[/mm].
Dann gilt:
[mm]\exists\int_{I}f(x,y)\ d(x,y)\Rightarrow(\exists\int_{a_1}^{b_1}\int_{a_2}^{b_2}f(x,y)\ dy \ dx) \wedge (\exists\int_{a_2}^{b_2}\int_{a_1}^{b_1}f(x,y)\ dx\ dy)[/mm]
und insbesondere sind die drei Integrale gleich.
Er besagt also, dass man bei der Integration von einer stetigen Funktion auf einem kompakten Integrationsgebiet (z.B. ein abgeschlossener Quader im [mm] \IR^n [/mm] ) die Integration in den einzelnen Koordinaten und in beliebiger Reihenfolge durchführen kann.
Hugo
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