Satz von Cramér < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:00 Sa 28.12.2013 | | Autor: | hula |
Hallöchen
Ich habe eine Frage zum Beweis des Satzes von Cramér aus der Versicherungsmathematik. Der Beweis braucht aber nur Wahrscheinlichkeitstheorie.
Gegeben ist ein diskreter Prozess [mm] $(S_t)$, $t\in \mathbb{N}$ [/mm] wobei die [mm] $S_t$ [/mm] iid sind. Des Weiteren ist folgender Prozess definiert: [mm] $R_0:=u$ [/mm] und [mm] $R_t=R_{t-1}+P_t-S_t$, [/mm] wobei [mm] $P_t$ [/mm] reelle (positive) Zahlen sind.
Hierbei entspricht [mm] $S_t$ [/mm] dem Schaden im Jahr $t$, [mm] $P_t$ [/mm] ist die Prämie im Jahr $t$ und somit ist [mm] $R_t$ [/mm] der Gewinn. Mann kann annehmen, dass [mm] $P_t>E[S_t]$. [/mm] Eine letzte Definition die gebraucht wird, ist die der Ruinwahrscheinlichkeit:
[mm] $$\phi(u):=P(T<\infty|R_0=u)$$
[/mm]
wobei [mm] $T:=\inf\{t>0|R_t<0\}$. [/mm] Der Satzt sagt nun:
Sei $k$ die positive Lösung von [mm] $e^{kP_t}=E[e^{kS_t}]$, [/mm] dann gilt
$$ [mm] \phi(u)\le e^{-ku}$$
[/mm]
Der Beweis ist ziemlich kurz: Sei [mm] $S=S_t$ [/mm] und [mm] $P=P_t$, $F(x)=P(P-S\le [/mm] x)$, [mm] $\phi_t(u)=P(T\le t|R_0=u)$ [/mm] und somit [mm] $\phi(u)=\lim_t\phi_t(u)$. [/mm] Der Beweis verwendet Induktion:
$t=0$: [mm] $\phi_0(u)=0\le e^{-ku}$
[/mm]
Induktionsschritt [mm] $t\to [/mm] t+1$: [mm] $\phi_{t+1}(u)=\int_{-\infty}^\infty P(T\le t+1|R_1=u+y) dF(y)=F(-u)+\int_{-u}^\infty \phi_t(u+y)dF(y)\le \int_{-\infty}^{-u}e^{-k(u+y)}dF(y)+\int_{-u}^\infty e^{-k(u+y)}dF(y)=e^{-ku}E[e^{-k(P-S)}]=e^{-ku}$
[/mm]
Hier habe ich einige Mühe: Ich verstehe das erste Gleichheitszeichen. Danach wird das Integral aufgespalten. Hierzu meine erste Frage: Wieo ist das erste Integral gerade [mm] $\int_{-\infty}^{-u}P(T\le t+1|R_1=u+y)dF(y)=F(-u)$ [/mm] und wieso ist [mm] $\int_{-u}^{\infty}P(T\le t+1|R_1=u+y)dF(y)=\int_{-u}^{\infty}\phi_t(u+y)dF(y)$?
[/mm]
Danach kommt die Ungleichung. Hier wird auf das zweite Integral die Induktionsvoraussetzung angewendet. Warum gilt aber
$F(-u) [mm] \le \int_{-\infty}^{-u}e^{-k(u+y)}dF(y)$?
[/mm]
Der Rest vom Beweis ist klar. Danke für eure Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Di 28.01.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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