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| Aufgabe | | Die Glühlampenproduktion in einer Fabrik ist auf drei Maschinen A,B und C zu 25%, 35% und 40% verteilt. Die einzelnen Maschinen arbeiten mit einem Ausschussanteil von 4%, 5% und 2%. Eine Lampe wird zufällig ausgewählt und es wird festgestellt, dass sie defekt ist. Von welcher Maschine stammt sie mit größter Wahrscheinlichkeit? |
Ich habe zu allererst ein Baumdiagramm aufgestellt. Dann habe ich für jede Maschine also A,B und C den Satz von Bayes angewendet.
[mm] H_1= [/mm] Maschine A, [mm] H_2= [/mm] Maschine B, [mm] H_3= [/mm] Maschine C
[mm] D_1= [/mm] Ausschussanteil A, [mm] D_2= [/mm] Ausschussanteil B, [mm] D_3= [/mm] Ausschussanteil C
Für A: [mm] P(H_1|D_1)= \bruch{P(H_1)*P(D_1|H_1)}{P(H_1)*P(D_1|H_1)+P(H_2)*P(D_2|H_2)+P(H_3)*(P(D_3|H_3)} [/mm]
= [mm] \bruch{25*4}{25*4+35*5+40*2} [/mm]
= 0,2816... [mm] \approx [/mm] 28,17%
Für B: [mm] P(H_2|D_2)= \bruch{P(H_2)*P(D_2|H_2)}{P(H_1)*P(D_1|H_1)+P(H_2)*P(D_2|H_2)+P(H_3)*(P(D_3|H_3)} [/mm]
= [mm] \bruch{35*5}{25*4+35*5+40*2}
[/mm]
= 0,4929... [mm] \approx [/mm] 49,3%
Für C: [mm] P(H_3|D_3)= \bruch{P(H_3)*P(D_3|H_3)}{P(H_1)*P(D_1|H_1)+P(H_2)*P(D_2|H_2)+P(H_3)*(P(D_3|H_3)} [/mm]
= [mm] \bruch{40*2}{25*4+35*5+40*2}
[/mm]
= 0,2253... [mm] \approx [/mm] 22,54%
Also ist die Glühbirne mit größter Wahrscheinlichkeit von Maschine B.
Ist das richtig so??
Vielen Dank im Voraus..
DarkAngel =)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:00 So 18.12.2005 | | Autor: | dominik |
Hallo DarkAngel84
So ist es bestimmt richtig: du hast den Prozentanteil der defekten Glühbirnen für jede Maschine ausgerechnet; zusammen geben diese Anteile 100%, nämlich alle defekten Glühbirnen der drei Maschinen.
Möglicherweise ist die folgende Überlegung weniger aufwändig:
Die Maschine A produziert 25% aller Glühbirnen; ihr Anteil an defekten Glühbirnen beträgt 4%. Damit sind
4%*25% = 1%
der Glühbirnen der gesamten Produktion defekte Glühbirnen der Maschine A.
Analog für B:
5%*35% = 1.75%
Und für C:
2%*40% = 0.8%
Damit hat die Maschine B - wie in deiner Rechnung - den grössten Anteil an defekten Glühbirnen.
Vergleich mit deiner Lösung:
1% + 1.75% + 0.8% = 3.55% aller Glühbirnen sind defekt
$ [mm] \bruch [/mm] {100}{3.55} [mm] \approx [/mm] 28.17 $
Multipliziert man "meine" Werte jeweils mit 28.17, erhält man deine Werte.
Viele Grüsse
dominik
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