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Hallo, ich habe eine Frage zum "Satz vom Maximum und Minimum"
Wir haben in der Vorlesung gelernt, dass eine stetige Funktion [mm] f:[a,b]->\IR
[/mm]
auf einem kompakten Intervall [a,b] wieder beschränkt ist und das Maximum bzw. Minimum annimmt.
Den Beweis habe ich nicht ganz verstanden und wollte meine Fragen diesbezüglich hier stellen:
Beweis: (Maximum)
1) Sei [mm] x_n \in [/mm] [a,b] ,n [mm] \in \IN [/mm] eine Folge, s.d. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)= [/mm] sup{f(x):x [mm] \in [/mm] [a,b]}
Meine Frage hierzu:
Warum muss es so eine Folge geben?
2) Da die Folge [mm] x_n [/mm] beschränkt ist, gibt es eine konvergente Teilfolge [mm] x_n_k [/mm] mit [mm] \limes_{k\rightarrow\infty} x_n_k=:p \in [/mm] [a,b].
Aus der Stetigkeit von f folgt f(p)=sup{f(x):x [mm] \in [/mm] [a,b]}
Meine Frage hier:
Warum folgt das? warum konvergieren die Funktionswerte der Teilfolge gegen das Maximum??
Wäre super wenn mir jemand den Beweis erklären könnte, indem er an den Stellen, wo meine Fragen stehen mir diese erklärt. danke.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Sa 20.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Beweis: (Maximum)
>
> 1) Sei [mm]x_n \in[a,b][/mm], [mm]n\in\IN[/mm] eine Folge, s.d.
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} f(x_n)=\sup\{f(x):x\in[a,b]\}[/mm]
>
> Meine Frage hierzu:
> Warum muss es so eine Folge geben?
Das liegt an der Definition des Supremums, [mm] $s:=\sup\{f(x)\mid x\in[a,b]\}$. [/mm] Zu [mm] $n\in\IN$ [/mm] gibt es ein [mm] $x_n\in[a,b]$ [/mm] mit [mm] $s-f(x_n)<1/n$. [/mm] für auf diese Weise erzeugte Folge gilt [mm] $\lim_{n\to\infty}f(x_n)=s$, [/mm] auch wenn wir über die Konvergenz von [mm] $(x_n)\subset[a,b]$ [/mm] nichts wissen.
>
> 2) Da die Folge [mm]x_n[/mm] beschränkt ist, gibt es eine
> konvergente Teilfolge [mm]x_{n_k}[/mm] mit [mm]\limes_{k\rightarrow\infty} x_n_k=:p \in[a,b][/mm].
>
> Aus der Stetigkeit von f folgt [mm]f(p)=sup\{f(x):x\in[a,b]\}[/mm]
>
> Meine Frage hier:
> Warum folgt das? warum konvergieren die Funktionswerte der
> Teilfolge gegen das Maximum??
Die Folge [mm] $\left(f(x_n)\right)_{n\in\IN}$ [/mm] konvergiert gegen s, also konvergiert auch die Teilfolge [mm] $\left(f(x_{n_k})\right)_{k\in\IN}$ [/mm] gegen s. Damit ist
[mm] $$f(p)=\lim_{k\to\infty}f(x_{n_k})=\lim_{n\to\infty}f(x_n)=s$$ [/mm] wobei das erste Gleichheitszeichen wegen der (Folgen-)Stetigkeit von f gilt.
Gruß, Robert
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