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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Sa 09.01.2016 | | Autor: | kai1992 |
| Aufgabe | Satz:
Sei G [mm] \subseteq \IC [/mm] Gebiet, [mm] f:G\to\IC [/mm] holomorph mit f'(z)=0 für alle z [mm] \in [/mm] G. Dann folgt, dass f(z)=const. für alle z [mm] \in [/mm] G.
Beweis:
Wähle [mm] z_{0} \in [/mm] G fest. Zu beliebigem z [mm] \in \IC [/mm] sei [mm] \gamma \in C^{1}([0,1],G) [/mm] mit [mm] \gamma(0)=z_{0} [/mm] und [mm] \gamma(1)=z. [/mm] f ist Stammfunktion von f', also folgt [mm] f(z)-f(z_{0}) [/mm] = [mm] \integral_{\gamma}{f'(z) dz} [/mm] = [mm] \integral_{\fgamma}{0 dz} [/mm] = 0. Also ist f(z) = [mm] f(z_{0}) [/mm] für alle z [mm] \in [/mm] G. |
Meine Frage:
An und für sich ist der Beweis mir klar. Das, was man am Anfang tut (der Weg [mm] \gamma [/mm] existiert ja gerade, da G wegzusammenhängend ist und wir hatten ein Gebiet G als offen und wegzusammenhängend definiert) funktioniert gerade, weil G Gebiet ist. Aber inwiefern geht das wirklich im Beweis ein? Ich stehe da irgendwie auf dem Schlauch. Oder anders: Wozu brauche ich hier die Existenz eines Weges zwischen [mm] z_{0} [/mm] und z, der ganz in G verläuft?
Vielen Dank!
Ich habe diese Frage auf keiner anderen Seite gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:54 Sa 09.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Satz:
> Sei G [mm]\subseteq \IC[/mm] Gebiet, [mm]f:G\to\IC[/mm] holomorph mit
> f'(z)=0 für alle z [mm]\in[/mm] G. Dann folgt, dass f(z)=const.
> für alle z [mm]\in[/mm] G.
>
> Beweis:
> Wähle [mm]z_{0} \in[/mm] G fest. Zu beliebigem z [mm]\in \IC[/mm] sei
> [mm]\gamma \in C^{1}([0,1],G)[/mm] mit [mm]\gamma(0)=z_{0}[/mm] und
> [mm]\gamma(1)=z.[/mm] f ist Stammfunktion von f', also folgt
> [mm]f(z)-f(z_{0})[/mm] = [mm]\integral_{\gamma}{f'(z) dz}[/mm] =
> [mm]\integral_{\fgamma}{0 dz}[/mm] = 0. Also ist f(z) = [mm]f(z_{0})[/mm]
> für alle z [mm]\in[/mm] G.
> Meine Frage:
>
> An und für sich ist der Beweis mir klar. Das, was man am
> Anfang tut (der Weg [mm]\gamma[/mm] existiert ja gerade, da G
> wegzusammenhängend ist und wir hatten ein Gebiet G als
> offen und wegzusammenhängend definiert) funktioniert
> gerade, weil G Gebiet ist. Aber inwiefern geht das wirklich
> im Beweis ein? Ich stehe da irgendwie auf dem Schlauch.
> Oder anders: Wozu brauche ich hier die Existenz eines Weges
> zwischen [mm]z_{0}[/mm] und z, der ganz in G verläuft?
Wenn du keinen solchen Weg hättest, könntest du das Integral nicht bilden.
Wenn $G$ nur offen, aber nicht wegzusammenhängend wäre, gibt es auch Gegenbeispiele (da es dann nicht topologisch zusammenhängend ist). Wenn $G = [mm] G_1 \cup G_2$ [/mm] mit [mm] $G_1 \cap G_2 [/mm] = [mm] \emptyset$, $G_1, G_2 \neq \emptyset$ [/mm] und [mm] $G_1, G_2$ [/mm] offen ist, setze $f(z) = 0$ für $z [mm] \in G_1$ [/mm] und $f(z) = 1$ für $z [mm] \in G_2$. [/mm] Dann gilt $f'(z) = 0$ für alle $z [mm] \in [/mm] G$, $f$ ist holomorph und $f$ ist nicht konstant.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:46 Sa 09.01.2016 | | Autor: | kai1992 |
Perfekt, vielen Dank! Das ist genau das, was ich wissen wollte.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:11 So 10.01.2016 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Perfekt, vielen Dank! Das ist genau das, was ich wissen
> wollte.
Das freut mich :)
Vielleicht noch eine Anmerkung: die Äquivalenz zwischen zusammenhängend und wegzusammenhängend ist nicht-trivial. Sie gilt auch i.A. gar nicht (jedoch impliziert wegzusammenhängend immer zusammenhängend). Sie gilt aber immer in [mm] $\IR$ [/mm] sowie bei offenen Teilmengen von [mm] $\IR^n$ [/mm] und [mm] $\IC^n$ [/mm] mit der Standardtopologie. Bei nichtoffenen Mengen in [mm] $\IC$ [/mm] oder [mm] $\IR^2$ [/mm] gibt es z.B. Gegenbeispiele, wie etwa die Menge [mm] $\{ (x, \sin(1/x)) \mid x \neq 0 \} \cup \{ (0, y) \mid y \in \IR \} \subseteq \IR^2$.
[/mm]
LG Felix
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