Satz über inverse Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:58 Fr 24.06.2011 | | Autor: | moerni |
Hallo.
Ich habe eine Verständnisfrage zum Satz über inverse Funktionen.
Angenommen, ich habe eine Funktion f gegeben, die alle Voraussetzungen für den Satz über inverse Funktionen in jedem Punkt x der Definitionsmenge erfüllt. Dann gibt es ja zu jedem x eine offene Umgebung O, in der die Funktion umkehrbar ist, also f^-1(O) existiert und ist stetig differenzierbar.
Frage: Da f ja in jedem Punkt x lokal umkehrbar ist, was kann man dann über die Umkehrbarkeit von f sagen? Existiert ein f^-1 auf dem ganzen Gebiet? Und ist diese Umkehrfunktion stetig?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar,
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:39 Sa 25.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
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> Ich habe eine Verständnisfrage zum Satz über inverse
> Funktionen.
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> Angenommen, ich habe eine Funktion f gegeben, die alle
> Voraussetzungen für den Satz über inverse Funktionen in
> jedem Punkt x der Definitionsmenge erfüllt. Dann gibt es
> ja zu jedem x eine offene Umgebung O, in der die Funktion
> umkehrbar ist, also f^-1(O) existiert und ist stetig
> differenzierbar.
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> Frage: Da f ja in jedem Punkt x lokal umkehrbar ist, was
> kann man dann über die Umkehrbarkeit von f sagen?
> Existiert ein f^-1 auf dem ganzen Gebiet?
Nein, im allgemeinen nicht.
Beispiel.
[mm] $f(x,y)=\vektor{e^x*cos(y) \\ e^x*sin(y)}$
[/mm]
Für jedes (x,y) [mm] \in \IR^2 [/mm] ist $detf'(x,y) [mm] \ne [/mm] 0$
Aber f ist auf [mm] \IR^2 [/mm] nicht injektiv.
FRED
> Und ist diese
> Umkehrfunktion stetig?
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> Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar,
> lg moerni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Sa 25.06.2011 | | Autor: | moerni |
Hallo.
Erstmal vielen Dank für die Antwort und das gute Beispiel. Das hat mir schon sehr weitergeholfen.
Noch eine Überlegung: wenn ich weiß, dass eine Funktion f für alle Punkte x aus den Def-Bereich lokal umkehrbar ist, kann man da nicht hingehen und eine Umkehrfunktion f zusammenbauen aus den einzelnen lokalen Umkehrfunktionen?
lg moerni
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 Sa 25.06.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo.
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> Erstmal vielen Dank für die Antwort und das gute Beispiel.
> Das hat mir schon sehr weitergeholfen.
>
> Noch eine Überlegung: wenn ich weiß, dass eine Funktion f
> für alle Punkte x aus den Def-Bereich lokal umkehrbar ist,
> kann man da nicht hingehen und eine Umkehrfunktion f
> zusammenbauen aus den einzelnen lokalen Umkehrfunktionen?
Nein
FRED
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> lg moerni
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:08 Sa 25.06.2011 | | Autor: | moerni |
Warum nicht? Liegt das daran, dass sich die offenen Mengen überschneiden...? Oder woran liegt es?
lg moerni
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Hallo moerni,
> Warum nicht? Liegt das daran, dass sich die offenen Mengen
> überschneiden...? Oder woran liegt es?
Fred hat oben bereits ein gutes Beispiel gegeben, dass dich vom Gegenteil überzeugen sollte:
Das dortige f ist nicht injektiv auf [mm] \IR^2, [/mm] daher kann keine globale Umkehrfunktion existieren (auch keine zusammengesetzte aus lokalen Umkehrfunktionen).
LG
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