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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Satz über implizite Funktionen
Satz über implizite Funktionen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Satz über implizite Funktionen: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:43 So 01.06.2008
Autor: spet

Aufgabe
Zeigen Sie, dass das folgende Gleichunssystem
[mm] x^2+y^2=9 [/mm]
[mm] y^2+z^2=4 [/mm]
im Punkt (3,0,2) genau eine lokale Auflösung nach einer der Variablen x,y,z besitzt.

Normalerweise muss man bei Gleichungssystem mit m Ungleichungen doch eine mxm Jacobimatrix untersuchen, oder?

Ich verstehe nicht, wieso dort steht "nach einer der Variablen" und nicht "nach den Variablen x,y" oder so steht.



        
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:07 So 01.06.2008
Autor: MathePower

Hallo spet,

> Zeigen Sie, dass das folgende Gleichunssystem
>  [mm]x^2+y^2=9[/mm]
>  [mm]y^2+z^2=4[/mm]
>  im Punkt (3,0,2) genau eine lokale Auflösung nach einer
> der Variablen x,y,z besitzt.
>  Normalerweise muss man bei Gleichungssystem mit m
> Ungleichungen doch eine mxm Jacobimatrix untersuchen,
> oder?


Hier haben wir aber 2 Gleichungen und 3 Unbekannte.

Demnach kannst Du 1 Unbekannte frei wählen.


>  
> Ich verstehe nicht, wieso dort steht "nach einer der
> Variablen" und nicht "nach den Variablen x,y" oder so
> steht.
>  
>  

Das obige Gleichungssystem kann auch so geschrieben werden:

[mm]f_{1}\left(x,y,z\right)=0[/mm]
[mm]f_{2}\left(x,y,z\right)=0[/mm]

Untersuche hier die Funktionaldeterminanten in [mm]\left(3,0,2\right)[/mm]

[mm]\vmat{ {f_{1}}_{x} & {f_{1}}_{y} \\ {f_{2}}_{x} & {f_{2}}_{y} }\left(3,0,2\right)[/mm]

[mm]\vmat{ {f_{1}}_{x} & {f_{1}}_{z} \\ {f_{2}}_{x} & {f_{2}}_{z} }\left(3,0,2\right)[/mm]

[mm]\vmat{ {f_{1}}_{y} & {f_{1}}_{z} \\ {f_{2}}_{y} & {f_{2}}_{z} }\left(3,0,2\right)[/mm]

Eine von diesen muß ungleich 0 sein. Dann kannst Du nach der verbleibenden Variablen auflösen.

Gruß
MathePower

Bezug
                
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:56 So 01.06.2008
Autor: spet

Hi, so macht das Sinn und kriege auch raus, dass man nach x und z auflösen kann.
Das heisst also jetzt im Punkt (3,0,2) lässt sich das Gleichsungssystem lokal nach x und z auflösen, aber nicht nach x und y sowie y und z. Stimmt das?
Sagt man aber dann nicht ich löse nach x und z auf anstatt nach y?

Bezug
                        
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:12 So 01.06.2008
Autor: MathePower

Hallo spet,

> Hi, so macht das Sinn und kriege auch raus, dass man nach x
> und z auflösen kann.
>  Das heisst also jetzt im Punkt (3,0,2) lässt sich das
> Gleichsungssystem lokal nach x und z auflösen, aber nicht
> nach x und y sowie y und z. Stimmt das?

Ja. [ok]

Dann hasst Du also [mm]x=x\left(y\right), \ z=z\left(y\right)[/mm].

>  Sagt man aber dann nicht ich löse nach x und z auf anstatt
> nach y?

Das ist schon richtig, daß man da nach x und z auflöst.

Gemeint war hier wohl mit der lokalen Auflösung nach einer Variablen (hier: y), daß die beiden anderen Variablen x,z durch eben diese Variable y dargestellt werden können.

Gruß
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Satz über implizite Funktionen: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:14 So 01.06.2008
Autor: spet

Danke dir für deine Hilfe.

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