Satz über implizite Fkt. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Fr 19.03.2010 | | Autor: | Peon |
| Aufgabe | Der Satz von der impliziten Funktion gibt ein Kriterium an, wann man die Gleichung in einer Umgebung auflösen kann.
Seien U [mm] \subseteq \mathbb{R}^m [/mm] und V [mm] \subseteq \mathbb{R}^n [/mm] offene Teilmengen und
[mm] F\colon [/mm] U [mm] \times\, [/mm] V [mm] \to \mathbb{R}^n,\quad (x,y)=(x_1,\dots,x_m,y_1,\dots,y_n) \mapsto F(x,y)=(\,F_1(x,y),\dots,F_n(x,y)\,) [/mm]
eine stetig differenzierbare Abbildung; und [mm] (x_0, y_0) \in [/mm] U [mm] \times\ [/mm] V erfülle die Gleichung [mm] F(x_0,y_0) [/mm] = 0.
Falls die quadratische Teilmatrix der Jacobi-Matrix, die die partiellen Ableitungen von F nach den y-Variablen enthält,
[mm] \frac{\partial (F_1, \ldots , F_n)}{\partial(y_1, \ldots , y_n)} [/mm] = [mm] \begin{pmatrix}\frac{\partial F_1}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F_1}{\partial y_n} \\ \vdots & & \vdots \\ \frac{\partial F_n}{\partial y_1} & \cdots & \frac{\partial F_n}{\partial y_n} \end{pmatrix}\ [/mm] ,
im Punkt [mm] (x_0,y_0) [/mm] invertierbar ist, existieren offene Umgebungen [mm] U_0 [/mm] von [mm] x_0 [/mm] und V_= von yo sowie eine eindeutige stetig differenzierbare Abbildung
[mm] y\colon {U_0} \subseteq [/mm] {U} [mm] \subseteq {\mathbb{R}^m} \to {V_0} \subseteq [/mm] {V} [mm] \subseteq {\mathbb{R}^n} [/mm] , mit [mm] y(x_0) [/mm] = [mm] y_0, [/mm] so dass
F(x,y(x)) = 0
für alle x [mm] \in U_0 [/mm] gilt. |
Hallo,
ich lerne gerade für meine Zwischenprüfung und bin über den Satz über impliziete Funktionen gestolpert und konnte den Prüfungsprotokollen entnehmen, dass dies auch Thema der Prüfung ist.
Leider verstehe ich den Satz nicht so ganz, bzw. es wäre super wenn mir jemand in eigenen Worten sagen könnte, was der beinhaltet?
Geht es da um die Umkehrbarkeit einer Funktion in einem bestimmten Punkt???
Hat jemand vielleicht ein einfaches Beispiel, bei mir gehen die Beispiele über mehrere Seiten...
Danke
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Hi Peon,
keine leichte Kost^^. Ich gebe dir mal ein einfaches Beispiel:
Gegeben ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten
[mm] x^2\sin(y)=c .[/mm]
Du möchtest die Gleichung nach [mm]y[/mm] umstellen. Die Frage ist nun ob das überhaupt funktioniert und wenn, dann wo. Der Satz liefert dir ein Kriterium. Betrachte:
[mm] F(x,y)=x^2\sin(y)-c,\quad\frac{\partial F}{\partial y}(x,y)=x^2\cos(y).[/mm]
Nach dem Satz über die implizite Funktion existiert um jeden Punkt [mm](x_0,y_0)[/mm] mit [mm]\frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq 0[/mm] eine Umgebung, in der du nach [mm]y[/mm] auflösen kannst.
Allgemeiner ist die Fragestellung die Gleiche, allerdings hat man es dann mit einem Gleichungssystem mit [mm]n[/mm] Gleichungen und [mm]n+m[/mm] Unbekannten zu tun.
Ich hoffe das hilft dir ein wenig weiter.
Beste Grüße
DerSpunk
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:38 Sa 20.03.2010 | | Autor: | Peon |
Danke schonmal, das macht es mir schon etwas leichter.
Hat dieses $ [mm] \frac{\partial F}{\partial y}(x_0,y_0)\neq [/mm] 0 $ was damit zu tun, dass die Determinate der Jacobi Matrix [mm] \not= [/mm] 0 sein muss, damit diese invertierbar ist (also die Ableitung in mehrere Richtungen) [mm] \not= [/mm] 0 oder spielt das hier keine Rolle?
Ich finde das mit den Umgebungen irgendwie immer ein bisschen verwirrend...
Kannst du mir vielleicht noch ein Gegenbeispiel nennen, das würde es mir dann vielleicht noch klarer machen.
1000 Dank
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In diesem Beispiel ist [mm]\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)[/mm] gerade die Jacobi-Matrix ([mm]1\times 1[/mm] Matrix). D.h. die Bedingung [mm]\neq 0[/mm] ist gerade "Determinante ungleich Null". Das mit der Umgebung ist so ne Sache. Der Satz sagt nur das es eine gibt und nichts darüber aus wie diese aussieht. D.h. im Prinzip kannst du mit dem Satz nur sagen ob du die Gleichung auflösen kannst aber nicht wie. In meinem Beispiel wirst du es analytisch kaum schaffen explizit nach y aufzulösen (aber du könnest). Ein Gegenbeispiel kenne ich keins. Der Satz gibt ja nur eine hinreichende Bedingung für die Auflösbarkeit aber keine notwendige.
Beste Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Peon |
Hey,
Danke. So habe ich mir das mit der Matrix auch gedacht, ist ja auch irgendwie logisch. Das mit den Umgebungen finde ich immer ein bisschen verwirrend, weil es irgendwann einfach so abstrakt wird...
Also hängen Satz über impl. Fkt. und Satz über Umkehrabbildungen unmittelbar zusammen?!
Hast Du vielleicht einen Link mit einer Beweisidee zum Satz ü.i.F.? Die sollten wir nämlich nach Möglichkeit können. Der Beweis im Forster ist ziemlich lang und wirr und ich steige da noch nicht so durch.
Ich habe da nochwas, was zu diesem Thema gehört: Wie sieht die Jacobimatrix der Umkehrabbildung aus?
Das wäre doch [mm] J_{f^{-1}} [/mm] = [mm] J_f^{-1}, [/mm] gibt es dazu einen schönen Beweis?
DANKE
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Einen Link habe ich leider nicht. Da musst du mal ein paar verschiedene Bücher durchwälzen. Die beiden Sätze hängen nämlich in dem Sinne zusammen, dass man mit dem Satz über implizite Funktionen den Satz über die Umkehrabbildung leicht beweisen kann und umgekehrt. Allerdings muss man für einen von beiden richtig ackern um ihn zu beweisen. D.h. ein Beweis wird immer ziemlich lang sein. Ich kann mir allerdings nicht vorstellen, dass du den langen Beweis draufhaben musst (wäre ein bisschen heftig) sondern mit dem Satz über die Umkehrabbildung den Beweis führen sollst. Im Königsberger (AnaII) werden die Sätze in dieser Reihenfolge bewiesen.
> Wie sieht die Jacobimatrix der Umkehrabbildung aus?
> Das wäre doch [mm]J_{f^{-1}}[/mm] = [mm]J_f^{-1},[/mm]
Jepp!
Beste Grüße
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