Satz der Translationsinvarianz < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Sa 04.12.2010 | | Autor: | etoxxl |
| Aufgabe | Satz:
Ist A [mm] \in GL(n,\IR) [/mm] und [mm] B\in \mathcal{B}^n, [/mm] so ist A(B) [mm] \in \mathcal{B}^n [/mm] und
[mm] \lambda^n [/mm] ( A(B)) = |det A| [mm] \lambda^n(B) [/mm] |
Hi,
man erkennt an diesem Satz, dass im falle |det(A)|=1,
die Figur B ihre Form und Maße nicht ändert und einfach im Raum verschoben,gedereht,gespiegelt (oder ähnliches) wird mit der linearen Abbildung A.
Kann man anhand der Zahl |det(A)| erkennen was mit einer Figur B passiert?
Also eine Art Abhängigkeit, wie z.B je größer |det(A)| desto mehr wird die Figur B im Raum verzehrt, gestaucht usw?
Gruß etoxxl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:40 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo etoxxl,
> Satz:
> Ist A [mm]\in GL(n,\IR)[/mm] und [mm]B\in \mathcal{B}^n,[/mm] so ist A(B)
> [mm]\in \mathcal{B}^n[/mm] und
> [mm]\lambda^n[/mm] ( A(B)) = |det A| [mm]\lambda^n(B)[/mm]
dieser Satz hat aber nichts mit Translationen, geschweige denn mit der Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes zu tun.
> Hi,
>
> man erkennt an diesem Satz, dass im falle |det(A)|=1,
> die Figur B ihre Form und Maße nicht ändert und einfach
> im Raum verschoben,gedereht,gespiegelt (oder ähnliches)
> wird mit der linearen Abbildung A.
> Kann man anhand der Zahl |det(A)| erkennen was mit einer
> Figur B passiert?
> Also eine Art Abhängigkeit, wie z.B je größer |det(A)|
> desto mehr wird die Figur B im Raum verzehrt, gestaucht
> usw?
Ja, man kann an der Determinante ablesen, welches "Volumen" (besser: Maß) ein Einheitswürfel (besser: [mm] $\{x\in\IR^n: |x|_\infty\le 1/2\}$) [/mm] der Kantenlänge 1 erhält, nachdem er unter der Abbildungen A abgebildet wurde.
Z.B. wird bei [mm] $|\det [/mm] A|=2$ ein Würfel auf etwas abgebildet, das doppeltes Volumen hat. Allerdings muss das Bild natürlich kein Würfel mehr sein, d.h. Aussagen über die Form sind nicht möglich.
Viele Grüße,
Marc
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Sa 04.12.2010 | | Autor: | etoxxl |
Ja, das stimmt, der Satz über die Translationsinvarianz ist ein anderer.
Falls man weiss, dass |det(A)|=1, wird der Würfel oder jedes beliebige Objekt einfach verschoben und enthält sein altes Maß oder kann es auch zu einer beliebigen anderen Figur werden, welche einfach ebefalls das ursprüngliche Maß besitzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:19 Sa 04.12.2010 | | Autor: | Marc |
Hallo,
> Ja, das stimmt, der Satz über die Translationsinvarianz
> ist ein anderer.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Falls man weiss, dass |det(A)|=1, wird der Würfel oder
> jedes beliebige Objekt einfach verschoben und enthält sein
> altes Maß oder kann es auch zu einer beliebigen anderen
> Figur werden, welche einfach ebefalls das ursprüngliche
> Maß besitzt?
Genau, es kann was komplette anderes sein. Zum Beispiel könnte der Würfel auf einen Quader abgebildet werden (indem man z.B. in x-Richtung mit dem Faktor 1/2 staucht und in y-Richtung mit dem Faktor 2 streckt, also mit [mm] $A=\pmat{1/2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1}$ [/mm] arbeitet).
Die Abbildungen A soll ja aus GL stammen, damit sind die Bilder des Würfels von der möglichen Form her aber eingeschränkt (z.B. könnte der Würfel nicht auf eine Vollkugel mit Volumen 1 abgebildet werden), aber das hilft dir denke ich mal nicht wirklich weiter.
Viele Grüße,
Marc
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