Satz der Inversen Funktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 16:14 Sa 19.06.2010 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Beweisen Sie den Satz der Inversen Funktion mit Hilfe des Impliziten Funktionentheorems:
Satz:
Sei [mm] \Omega\subset\IR^{n} [/mm] offen und sei [mm] f:\Omega\to\IR^{n} [/mm] einmal stetig differenzierbar. Sei [mm] a\in\Omega [/mm] derart, dass f'(a) invertierbar ist.
Dann existieren Umgebungen [mm] U\subset\Omega [/mm] von a und [mm] V\subset\IR^{n} [/mm] von f(a), sodass [mm] f|_{U}:U\to [/mm] V bisjektiv ist, [mm] f^{-1}:V\to [/mm] U einmal stetig differenzierbar ist und für jedes [mm] y\in [/mm] V gilt: [mm] (f^{-1})'(y)=[f'(f^{-1}(y))]^{-1} [/mm] |
Heyho!
Da der Satz der Inversen Funktion ja als Korollar des Impliziten Funktionentheorems bezeichnet wird, sollte es ja eigentlich nicht so schwer sein, den damit zu beweisen...
Man muss sicherlich nur alles richtig wählen und dann läufts, wat?
Das Problem ist allerdings das ich dat irgendwie nich hinkriege. -_-
Voraussetzungen des Impliziten Funktionentheorems:
Seien [mm] \overline{X}:=\IR^{m} [/mm] und [mm] \overline{Y}:=\IR^{p}, W\subset\overline{X}\times\overline{Y} [/mm] offen, [mm] F:W\to\IR^{p} [/mm] einmal stetig differenzierbar und [mm] (b,a)\in [/mm] W mit F(b,a)=0 und [mm] \partial_{\overline{Y}}F(b,a) [/mm] invertierbar.
So ich hab jetzt gedacht, [mm] \overline{Y} [/mm] muss man sicherlich als [mm] \IR^{n} [/mm] wählen. Und F hab ich versucht zu wählen als [mm] F:\IR\times\Omega\to\IR^{n}; [/mm] F(x,y):=f(y)
Dann ist doch schonmal [mm] \partial_{\overline{Y}}F=f' [/mm] (oder?) und dat is dann ja invertierbar für dieses [mm] a\in\Omega... [/mm]
Aber dann muss ja noch F(b,a)=f(a) Null sein (aber das ist ja nich vorausgesetzt) Also muss F anders sein... Die Frage is nur wie???
Gleichzeitig sollte [mm] \partial_{\overline{Y}}(b,a) [/mm] ja invertierbar bleiben...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Do 24.06.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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