Satz: Abschätzung Lebensdauer < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Sa 18.09.2010 | | Autor: | moerni |
| Aufgabe | | I [mm] \subset \mathbb{R} [/mm] Intervall, D [mm] \subset [/mm] I [mm] \times \mathbb{R} [/mm] offen, f: D [mm] \to \mathbb{R} [/mm] stetig mit lokaler Lipschitz-Bedingung. Für [mm] Q=[t_0,t_0+h] \times [y_0-c,y_0+c] [/mm] gilt Q [mm] \subset U(t_0,y_0). [/mm] Mit Picard-Lindelöf lokale Version gilt dann: y existiert mindestens bis [mm] t=t_0+min\{h,\frac{c}{M}\}=:t_0+a [/mm] mit [mm] M=max_{(t,x) \in Q } [/mm] |f(t,x)|. Ferner gilt [mm] |y(t)-y_0| \le [/mm] c für alle t [mm] \in [t_0,t_0+a]. [/mm] |
Hallo.
Ich habe ein paar Fragen zum Beweis von diesem Satz. Hier erstmal der Beweis:
Definiere [mm] F(t,x)=\begin{cases} f(t,y_0+c), x > y_0+c \\ f(t,x), x \in [y_0-c,y_0+c] \\ f(t,y_0-c), x
Dann ist F global Lipschitzstetig. Nach Picard-Lindelöf globale Version existiert eine eindeutige Lösung von y'=F(t,y), [mm] y(t_0)=y_0.
[/mm]
Für t [mm] \in [t_0, t_0+a] [/mm] gilt: [mm] |y(t)-y_0|=|\int_{t_0}^t [/mm] F(s,y(s))ds| [mm] \le \int_{t_0}^t [/mm] |F(s,y(s)|ds [mm] \le [/mm] M [mm] |t-t_0| \le [/mm] Ma [mm] \le [/mm] c, wobei [mm] a=min\{h,\frac{c}{M}\} \le \frac{c}{M}
[/mm]
Also: [mm] |y(t)-y_0| \le [/mm] c für alle t [mm] \in [t_0,t_0+a], [/mm] also (t,y(t)) [mm] \in [/mm] Q für t [mm] \in [t_0,t_0+a].
[/mm]
In Q gilt f(t,x)=F(t,x), so dass y das Problem y'(t)=f(t,y(t)), t [mm] \in [t_0,t_0+a], y(t_0)=y_0 [/mm] löst.
Meine Fragen:
1. Wie kommt man zur Gleichung [mm] |y(t)-y_0|=|\int_{t_0}^t [/mm] F(s,y(s))ds|?
>> Würde ich den Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung anwenden, müsste statt y(t) ja y'(t) stehen, oder?
2. Wie kommt man auf die Definition von a? Warum wird das so festgelegt? Welcher Gedanke steckt dahinter...? Für mich sieht das aus wie aus der Luft gegriffen :-(
Über eine Antwort wäre ich sehr froh,
lg moerni
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:10 So 19.09.2010 | | Autor: | fred97 |
Es gilt:
$y'(t)=F(t,y(t)), [mm] y(t_0)=y_0 \gdw y(t)-y_0=\int_{t_0}^t [/mm] F(s,y(s))ds$
Das folgt aus den Hauptsätzen der Diff. u. Integrakrechnung
Zur Wahl von a: a wurde so gewählt, daas man Picard-Lindelöf globale Version anwenden kann.
FRED
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