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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Di 20.03.2007 | | Autor: | juthe |
| Aufgabe | Seien [mm] (x_{n}), (y_{n}),(z_{n}) [/mm] drei Folgen, sodass [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] = 0 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}z_{n} [/mm] = 0 existieren (endlich oder unendlich) und übereinstimmen. Sei weiter [mm] x_{n}\le y_{n}\le z_{n} \forall n\in [/mm] IN.
Ziege, dass dann auch [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_{n} [/mm] existiert und mit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}z_{n} [/mm] überinstimmt. |
Hi alle miteinander.
Bin ja schon mal froh, dass ich es bis hier her richtig aufgeschrieben habe. 
Aber nun zu meiner Frage. Ich habe mal versucht dieses Theorem zu beweisen.
[mm] x_{n}\le y_{n}\le z_{n}
[/mm]
[mm] \gdw |x_{n}|\le|y_{n}|\le|z_{n}|
[/mm]
[mm] \gdw |x_{n}|\le|y_{n}|\le|z_{n}|< \varepsilon [/mm] ( da [mm] x_{n},z_{n} [/mm] gegen Null konvergieren gilt ja:
[mm] |x_{n}-x_{0}|<\varepsilon [/mm] und [mm] |z_{n}-z_{0}|<\varepsilon, [/mm]
[mm] \gdw |x_{n}|\le \varepsilon, |z_{n}|< \varepsilon, [/mm] da [mm] x_{0} [/mm] = [mm] z_{0}= [/mm] 0)
[mm] \gdw |x_{n}|< \varepsilon [/mm] , [mm] |y_{n}|< \varepsilon ,|z_{n}|< \varepsilon [/mm]
[mm] \gdw |x_{n}-0|< \varepsilon [/mm] , [mm] |y_{n}-0|< \varepsilon ,|z_{n}-0|< \varepsilon [/mm]
[mm] \gdw \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] = 0, [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_{n}=0, \limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}=0
[/mm]
[mm] \gdw\limes_{n\rightarrow\infty}x_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}y_{n}= \limes_{n\rightarrow\infty}z_{n}
[/mm]
Ist dieser Beweis so richtig? bin mir nämlich nicht sicher, ob ich weiß, wenn ich alles notwendige gezeigt habe.
Danke und viele liebe Grüße
Juthe
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 Di 20.03.2007 | | Autor: | moudi |
Hallo Juthe
Ich glaube die Limites [mm] $\lim_{n\to\infty}x_n$ [/mm] und [mm] $\lim_{n\to\infty}z_n$ [/mm] sind nicht 0, sondern sie existieren und sind gleich. Dabei darf es auch ein uneigentlicher Grenzwert sein, d.h.
[mm] $\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}z_n=\pm\infty$ [/mm] ist erlaubt.
Ich glaube das Theorem ist ziemlich klar. Vielleicht muss man eine kleine Fallunterscheidung machen, ob es sich um einen eigentlichen oder uneigentlichen Grenzwert handelt.
Sei [mm] $a\neq\infty$ [/mm] dieser Grenwert, und sei [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] vorgegeben.
Da a Grenzwert der Folge [mm] $x_n$ [/mm] ist, gibt es ein [mm] $N_0$ [/mm] so, dass für alle [mm] $n>N_0$ [/mm] die Zahl [mm] $x_n$ [/mm] in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von a liegt.
Da a Grenzwert der Folge [mm] $z_n$ [/mm] ist, gibt es ein [mm] $N_1$ [/mm] so, dass für alle [mm] $n>N_1$ [/mm] die Zahl [mm] $z_n$ [/mm] in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von a liegt.
Sei [mm] $N=\max\{N_0,N_1\}$, [/mm] dann gilt für alle $n>N$, dass [mm] $y_n$ [/mm] in der [mm] $\evarpsilon$-Umgebung [/mm] von a liegt, da dies für [mm] $x_n$ [/mm] und [mm] $z_n$ [/mm] zutrifft, und [mm] $y_n$ [/mm] zwischen [mm] $x_n$ [/mm] und [mm] $z_n$ [/mm] liegt.
Damit haben wir zu jedem positiven [mm] $\varepsilon$ [/mm] ein N gefunden, sodass für alle n>N [mm] $y_n$ [/mm] in der [mm] $\varepsilon$-Umgebung [/mm] von a liegt. D.h. a ist der Grenzwert der Folge [mm] $y_n$.
[/mm]
Für uneigentliche Grenzwerte [mm] $\pm\infty$ [/mm] geht es ähnlich.
mfG Moudi
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