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| Aufgabe | | [mm] \wurzel{cos(x-1)}=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] |
Hallo zusammen,
ich habe für die Aufgabe folgende Lösung
[mm] \wurzel{cos(x-1)}=\bruch{1}{\wurzel{2}}
[/mm]
[mm] cos(x-1)=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] x-1=arcos(\bruch{1}{2})
[/mm]
[mm] x=arcos(\bruch{1}{2}) [/mm] +1
x=61
Was mich stutzig macht ist, dass die Aufgabe zum Themenbereich "spezielle Funktionen" gehört und "sämtliche" Lösungen gefordert werden.
Was meint Ihr? Ist meine Lösung richtig und kann es weitere geben?
Danke im Voraus.
Bastian
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Mi 18.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Bastian!
Die Winkelfunktion wie z.B. der [mm] $\cos$ [/mm] sind periodische Funktionen (Periode [mm] $2\pi$ [/mm] ), so dass Deine Gleichung entweder keine ohne unendlich viele Lösungen haben wird.
Zum anderen würde mich interessieren, wie Du auf den Wert $x \ = \ 61$ gekommen bist.
Gruß
Loddar
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Hallo Loddar,
wie wäre dein Ansatz für weitere Lösungen?
x=61 kam daher, weil arcos 0,5 genau 60° ist ;)
Besten Dank schon mal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Mi 18.04.2012 | | Autor: | chrisno |
Bei solchen Untersuchungen ist das Argument der Winkelfunktionen immer im Bogenmaß.
Zeichne Dir mal die cos-Funktion auf. Da gibt es zwei Stellen zwischen 0 und [mm] $2\pi$ [/mm] an denen das Ergebnis 0,5 ist. Also musst Du noch die zweite Lösung finden. Dann addierst Du [mm] $k*2\pi$ [/mm] mit $k [mm] \in \IZ$ [/mm] zu Deinen Lösungen.
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Also quasi in dem Format?
[mm] x_{k}=arcos(\bruch{1}{2}+k2\pi)+1
[/mm]
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> Also quasi in dem Format?
>
> [mm]x_{k}=arcos(\bruch{1}{2}+k2\pi)+1[/mm]
Hallo,
nein, so nicht. Wenn schon, dann müßte es [mm] x=arcos(\bruch{1}{2})+2k\pi+1 [/mm] heißen, aber damit hättest Du nicht sämtliche Lösungen.
Du solltest gründlich durchlesen und nachvollziehen, was chrisno schreibt.
An welchen Stellen zwischen 0 und [mm] 2\pi [/mm] ist denn [mm] cos(y)=\bruch{1}{2}?
[/mm]
Oder alterneativ: an welchen Stellen zwischen [mm] -\pi [/mm] und [mm] \pi [/mm] ist [mm] cos(y)=\bruch{1}{2}?
[/mm]
Wenn Du diese Lösungen hast, dann beachte, daß sie sich mit der Periode [mm] 2\pi [/mm] wiederholen.
LG Angela
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Ah, danke für die Antwort.
Die Periode vom arccos ist [mm] 0-\pi [/mm] und deswegen gibt innerhalb von [mm] 2\pi [/mm] auch zwei Lösungen (!)
[mm] x_{1k}=arcos(\bruch{\pi}{3}+k2\pi)+1
[/mm]
[mm] x_{2k}=arcos(\bruch{4\pi}{3}+k2\pi)+1
[/mm]
Ich hoffe ich habe das jetzt verstanden...
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Hallo,
> Ah, danke für die Antwort.
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> Die Periode vom arccos ist [mm]0-\pi[/mm] und deswegen gibt
> innerhalb von [mm]2\pi[/mm] auch zwei Lösungen (!)
>
> [mm]x_{1k}=arcos(\bruch{\pi}{3}+k2\pi)+1[/mm]
>
> [mm]x_{2k}=arcos(\bruch{4\pi}{3}+k2\pi)+1[/mm]
>
> Ich hoffe ich habe das jetzt verstanden...
offen gesprochen: nein. Die Arkusfunktionen sind nicht periodisch. Und außerdem ist der Arkuskosinus hier falsch angewendet, weiters steckt noch ein Tipp- oder Denkfehler in der zweiten Lösung.
Bevor ich dir nun meine Lösungsversion hinschreiben werde, noch ein Wort zu den Arkusfunktionen. Diese sind Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen. Da diese periodisch sind, sind sie jedoch als ganzes nicht umkehrbar, so dass man immer nur ein bestimmtes Intervall herausnimmt, auf dem die betreffende Winkelfunktion streng monoton ist. Wenn du mit dem Taschenrechner zu einem gegebenen Kosinus-Wert den zugehörigen Winkel suchst, drückst du 'Shift+cos' oder irgendetwas sinngemäßes. Dabei kommt natürlich ein Wert heraus. Da jedoch die Winkelfunktionen periodisch sind, gibt es unendlich viele andere Stellen, an denen der gleiche Wert angenommen wird. Daher die Sache mit dem [mm] k\in\IZ, [/mm] wobei du ja den Arkuskosinus längst berechnet hast, wenn du dieses k verwendest. Dies als Erläuterung, hier meine Lösung:
[mm] \wurzel{cos(x-1)}=\bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] <=>
[mm] cos(x-1)=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] arccos\left(\bruch{1}{2}\right)=\bruch{pi}{3} [/mm] =>
[mm] x_{1k}=\bruch{\pi}{3}+1+2*k*\pi [/mm] ; [mm] k\in\IZ
[/mm]
[mm] x_{2k}=2\pi-\bruch{\pi}{3}+1+2*k*\pi=\bruch{5}{3}\pi+1+2*k*\pi
[/mm]
Wo man die +1 hinplatziert, ist dabei natürlich Geschmacksache.
Gruß, Diophant
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