S(X) ist eine Gruppe - Beweis < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei X [mm] \not= \emptyset [/mm] eine Menge. Beweien sie, dass
S(X):= {f : X [mm] \mapsto [/mm] X | f bijektiv} eine Gruppe ist.
Zeigen Sie für X = [mm] E^2 [/mm] durch Angabe eines Gegenbeispiels, dass diese Gruppe i.A. nicht abelsch ist. |
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Beweis-dass-es-sich-um-eine-Gruppe-handelt
Dort wurde ein Beispiel erarbeitet: X = {1, 2, 3, 4} mit
f(1) = 3
f(2) = 1
f(3) = 2
f(4) = 4
Ich habe also bisher verstanden, warum dieses Beispiel bijektiv ist.
Und ich weiß, dass eine Gruppe assoziativ sein soll, ein neutrales und ein inverses Element beinhalten soll.
Ist sie zusätzlich kommutativ, dann ist sie abelsch.
Aber wie zeige ich dann, die geforderten Eigenschaften?
Und reicht es, wenn ich es an einem Beispiel zeige oder muss ich das allgemein zeigen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:09 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
dabei ist eigentlich $S(X)$ mit der Verknüpfung [mm] $\circ$, [/mm] also der üblichen Verknüpfung von Funktionen, gemeint.
Du hast nun zu zeigen:
1.) S(X) ist bzgl. [mm] $\circ$ [/mm] abgeschlossen, mit anderen Worten:
Sind $f,g [mm] \in [/mm] S(X)$, also $f,g: X [mm] \to [/mm] X$ beide bijektiv, so ist auch $f [mm] \circ [/mm] g: X [mm] \to [/mm] X$ bijektiv, d.h. $(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \in [/mm] S(X)$.
2.) Für alle $f,g,h [mm] \in [/mm] S(X)$, d.h. $f,g,h: X [mm] \to [/mm] X$ alle bijektiv, gilt $(f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h=f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h)$ (Assoziativität)
3.) Es gibt ein neutrales Element in $S(X)$, d.h.
Es gibt $e [mm] \in [/mm] S(X)$, d.h. $e: X [mm] \to [/mm] X$, $e$ bijektiv und so, dass für alle $f [mm] \in [/mm] S(X)$ gilt:
$e [mm] \circ [/mm] f=f [mm] \circ [/mm] e=f$
Dazu betrachte einfach $e: X [mm] \to [/mm] X$ definiert durch $e(x):=x$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$, und zeige, dass $e [mm] \in [/mm] S(X)$ (d.h. $e: X [mm] \to [/mm] X$ mit $e(x):=x$ für alle $x [mm] \in [/mm] X$ erfüllt, dass $e$ bijektiv ist).
Weiterhin rechne nach, dass die Funktion $e$ die gewünschte Eigenschaft hat, d.h. zeige für beliebiges, aber festes $f [mm] \in [/mm] S(X)$:
a) Für alle $x [mm] \in [/mm] X$ gilt: $(e [mm] \circ [/mm] f)(x)=f(x)$
und
b) Für alle $x [mm] \in [/mm] X$ gilt: $(f [mm] \circ [/mm] e)(x)=f(x)$
(Für die so definierte Funktion $e$ schreibt man oft auch einfach [mm] $e=id_X$.)
[/mm]
4.) Existenz des inversen Elementes:
Du hast also zu zeigen:
Ist $f [mm] \in [/mm] S(X)$, so gibt es ein $g [mm] \in [/mm] S(X)$ mit der Eigenschaft, dass $f [mm] \circ [/mm] g=g [mm] \circ [/mm] f=e$, mit anderen Worten:
Ist $f: X [mm] \to [/mm] X$ bijektiv, so hast Du zu zeigen: Es gibt eine bijektive Funktion $g: X [mm] \to [/mm] X$ derart, dass für alle $x [mm] \in [/mm] X$ gilt:
$(f [mm] \circ [/mm] g)(x)=(g [mm] \circ [/mm] f)(x)=x$.
Naja, für eine Bijektion $f: X [mm] \to [/mm] X$ existiert die Umkehrabbildung [mm] $f^{-1}: [/mm] X [mm] \to [/mm] X$ (manchmal auch als [mm] $f^{inv}$ [/mm] notiert)...
P.S.:
Du musst natürlich alles allgemein zeigen, das erkennst Du auch schon daran, dass die Eigenschaften ja für alle Elemente von $S(X)$ gelten sollen, und nicht nur für "einige wenige Funktionen".
Und zu der Eigenschaft, dass diese Gruppe i.a. nicht abelsch ist:
Dort reicht es, ein Gegenbeispiel anzugeben. D.h. dort sollst Du für [mm] $X=E^2$ [/mm] zeigen, dass es zwei bijektive Funktionen $f,g: [mm] E^2 \to E^2$ [/mm] derart gibt, dass $f [mm] \circ [/mm] g [mm] \not= [/mm] g [mm] \circ [/mm] f$.
Hier kannst Du konkrete $f,g: [mm] E^2 \to E^2$ [/mm] angeben, Du solltest nur beachten, dass beide Funktionen auch bijektiv sein müssen (sonst wären sie nämlich nicht beide [mm] $\in S(E^2)$ [/mm] nach Definition von [mm] $S(E^2)$).
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Die einzelnen Bedeungen, von assoziativ, inverdes Element und neutrales Element kenn ich.
Mein Problem liegt darin, es auf ein Beispiel anzuwenden.
Ich bin mir nämlich nicht sicher, ob ich einfach die symmetrische Gruppe S3 nehmen kann und in die Richtung weitermache:
S3:
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }
[/mm]
B = [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }
[/mm]
C= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 }
[/mm]
D= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }
[/mm]
E= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
F= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 }
[/mm]
Das neutrale Element wäre ja in dem Fall A, denn
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } \circ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } [/mm] ist ja wieder A, also die Identität.
Schwieriger wird es bei der Assoziativität.
Ich habe z.B. für
(A [mm] \circ [/mm] B) [mm] \circ [/mm] C nicht das gleiche wie für A [mm] \circ [/mm] (B [mm] \circ [/mm] C) raus.
und wie das mit dem Inversen ist, weiß ich auch nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:37 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Zorba |
Wie hast du denn die Asooziativität berechnet? Warum kommt bei dir da nicht das gleiche heraus? Kannst du den Rechenweg bitte hinschreiben?
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Ich hab das so gemacht:
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 }
[/mm]
B= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }
[/mm]
C= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 }
[/mm]
A [mm] \circ [/mm] (B [mm] \circ [/mm] C):
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } \circ (\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } \circ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 })
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } \circ (\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
(A [mm] \circ [/mm] B) [mm] \circ [/mm] C:
[mm] (\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 } \circ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }) \circ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 }
[/mm]
[mm] =\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 } \circ \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 }
[/mm]
= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }
[/mm]
und tatää, schon stell ich fest, ich hab tatsächlich falsch gerechnet 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:09 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
> Ich hab das so gemacht:
> ...
> = [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }[/mm]
>
>
> und tatää, schon stell ich fest, ich hab tatsächlich falsch
> gerechnet
Hallo,
schön, dann hast Du Deinen Fehler gefunden. Aber arbeite wirklich lieber nur mit der Eigenschaft, dass gilt:
$f [mm] \in [/mm] S(X) [mm] \gdw [/mm] f: X [mm] \to [/mm] X$ ist bijektiv.
Denn Du brauchst hier wirklich nur die Eigenschaft, dass es sich um bijektive Abbildungen $X [mm] \to [/mm] X$ handelt. Außerdem bleibt das ganze viel übersichtlicher, zumal Du diese Notation für Permutationen i.a. nur für endliche Mengen benutzen solltest. Man kann zwar für abzählbare Mengen dann auch mit Folgen bzw. für überabzählbare Mengen mit Familien arbeiten, aber das macht hier keinen Sinn. Die Aufgabe ist eigentlich sehr simpel, es geht mehr oder weniger nur darum, dass man verstanden hat, wie man mit Abbildungen "rechnen" kann bzw. darf. Du musst im Prinzip nur nachgucken, was Du über bijektive Abbildungen weißt...
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:42 Mi 02.01.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
warum arbeitest Du mit der Notation für Permutationen? Ich meine, $X$ muss noch nicht mal eine endliche Menge sein.
Wenn bei Dir $A [mm] \circ [/mm] (B [mm] \circ [/mm] C) [mm] \not= [/mm] A [mm] \circ [/mm] (B [mm] \circ [/mm] C)$ gilt, dann rechnest Du falsch. Es gilt nämlich:
Sind $M,N,P,Q$ alles nichtleere Mengen, $f: M [mm] \to [/mm] N$, $g:N [mm] \to [/mm] P$, $h: P [mm] \to [/mm] Q$ Abbildungen, so sind auch $h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f), (h [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] f: M [mm] \to [/mm] Q$ Abbildungen und es gilt:
$h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f)=(h [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] f$, mit anderen Worten:
Für alle $m [mm] \in [/mm] M$:
$(h [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] f))(m)=((h [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] f)(m)$
Das heißt, die Assoziativität gilt für beliebige Abbildungen (sofern alles wohldefiniert), insbesondere gilt sie, wenn man $M=N=P=Q=X$ hat und zusätzlich $f,g,h$ alle bijektiv sind. Ferner gilt das natürlich auch für eine endliche Menge $X$, also gilt das insbesondere auch für Permutationen. Aber hier ist $S(X)$ eine Menge, die viel allgemeiner definiert wurde.
P.S.:
Also mal zu Deinem Beispiel:
Dort ist [mm] $X=\{1,2,3\}$.
[/mm]
$A$ steht dort für $f(x)=x$.
Für $B$ nehme man die Funktion definiert durch $g(1)=1$, $g(2)=3$ und $g(3)=2$.
Für $C$ nehme man $h(1)=2$, $h(2)=1$ und $h(3)=3$.
Dann gelten:
$(f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h))(1)=f(g(2))=f(3)=3$ und
$((f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h)(1)=(f [mm] \circ [/mm] g)(2)=f(g(2))=3$
Genauso rechnest Du halt nach, dass auch
$(f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h))(2)=1=((f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h)(2)$
und
$(f [mm] \circ [/mm] (g [mm] \circ [/mm] h))(3)=2=((f [mm] \circ [/mm] g) [mm] \circ [/mm] h)(3)$
Also sollte
$A [mm] \circ [/mm] (B [mm] \circ [/mm] C)=(A [mm] \circ [/mm] B) [mm] \circ C=\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2}$ [/mm] gelten.
P.S.:
[mm] $B=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 }$ [/mm] ist hier zu sich selbst invers.
Invers zu [mm] $D=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 }$ [/mm] wäre [mm] $E=\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 }$
[/mm]
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Gruß,
Marcel
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