SU(2) klassifizieren < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:25 Mi 18.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
| Aufgabe | | Klassifizieren Sie alle endlichen Untergruppen von SU(2) bis auf Isomorphie. |
Hallo zusammen
Ähm, ja.. tolle Aufgabe ^^
Ich weiss nicht mal, wie ich anfangen soll. Hat jemand vielleicht einen Tipp oder möchte die Aufgabe mit mir entwickeln?
Wäre froh um jede Bemerkung!
Danke und viele Grüsse, Amaro
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:48 Mi 18.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro!
> Klassifizieren Sie alle endlichen Untergruppen von SU(2)
> bis auf Isomorphie.
>
> Ähm, ja.. tolle Aufgabe ^^
>
> Ich weiss nicht mal, wie ich anfangen soll. Hat jemand
> vielleicht einen Tipp oder möchte die Aufgabe mit mir
> entwickeln?
Einen Tipp haette ich: schau dir doch erstmal die Elemente mit endlicher Ordnung in $SU(2)$ an. Beachte dazu, dass unitaere Matrizen diagonalisierbar sind.
Endliche Untergruppen muessen ja aus Elementen endlicher Ordnung bestehen, dann weisst du schonmal welche Elemente drinnenliegen :)
Als naechstes kannst du dir ueberlegen, wann das Produkt von zwei Elementen endlicher Ordnung wieder endliche Ordnung hat. Ich vermute mal, dass du damit ziemlich viel der Aufgabe erledigen kannst.
LG Felix
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 16:11 Do 19.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix!
> Hallo Amaro!
>
> > Klassifizieren Sie alle endlichen Untergruppen von SU(2)
> > bis auf Isomorphie.
> >
> > Ähm, ja.. tolle Aufgabe ^^
> >
> > Ich weiss nicht mal, wie ich anfangen soll. Hat jemand
> > vielleicht einen Tipp oder möchte die Aufgabe mit mir
> > entwickeln?
>
> Einen Tipp haette ich: schau dir doch erstmal die Elemente
> mit endlicher Ordnung in [mm]SU(2)[/mm] an. Beachte dazu, dass
> unitaere Matrizen diagonalisierbar sind.
>
> Endliche Untergruppen muessen ja aus Elementen endlicher
> Ordnung bestehen, dann weisst du schonmal welche Elemente
> drinnenliegen :)
>
> Als naechstes kannst du dir ueberlegen, wann das Produkt
> von zwei Elementen endlicher Ordnung wieder endliche
> Ordnung hat. Ich vermute mal, dass du damit ziemlich viel
> der Aufgabe erledigen kannst.
>
Ich habe versucht, alles aufzuschreiben.. aber SU(2) ist ja nicht endlich, wodurch ich nichts wirkilch aussagen kann..
Dann, beim Hilfe suchen in meinem Buch, bin ich auf eine interessante Aussage gestossen:
"Es gibt einen surjektiven Homomorphismus [mm] \phi:SU(2) \to [/mm] SO(3)"
Da dachte ich mir: super, ich kenne ja alle endliche Untergruppen von SO(3)! Vielleicht kann ich was damit anfangen.
(Ich hoffe, du bist nicht böse, wenn ich einen anderen Weg einschlage als der von dir vorgeschlagenen ;))
Gut, also mal kurz zusammenfassen was ich alles weiss...
[mm] \phi: [/mm] SU(2) [mm] \to [/mm] SO(3) surjektiver Homomorphismus
[mm] ker(\phi) [/mm] = [mm] {\pm E}
[/mm]
[mm] im(\phi) [/mm] = SO(3)
Gut. Ich bezeichne jetzt mit P eine endliche Untergruppe von SU(2). Dann:
[mm] \phi(P) [/mm] = U [mm] \in [/mm] SO(3) endlich.
[mm] |Im(\phi)||ker(\phi)| [/mm] = |P| [mm] \Rightarrow [/mm] |P| hängt von |U| ab!. Ausserdem ist [mm] |ker(\phi)| [/mm] = 1 oder 2. Das ergibt eine Fallunterscheidung:
- [mm] |ker(\phi)| [/mm] = 1: Dann habe ich einen Isomorphismus. Das geht aber nur, wenn |U| = 2n+1, n [mm] \in \IN_{\ge 0}. [/mm] (Beweisen kann man das, indem man sagt, ok.. habe ich |U| = 2n, dann habe ich einen Element von Ordnung 2. Dann hat aber sein Urbild auch Ordnung 2. Das einzige Element aber in SU(2) mit Ordnung 2 ist -E, und das liegt im Kern.. also gehts nicht).
Gut, also sind die Bilder der Gruppen mit ungerader Ordnung zyklisch mit ebenfalls ungerader Ordnung.
- [mm] |ker(\phi)| [/mm] = 2: Dann habe ich |P| = 2|U| und somit wird jedes Element aus P auf 2 Elemente von U abgebildet...
Wie kann ich jetzt mit dem zweiten Fall weiter machen??
> LG Felix
>
Danke :)
Liebe Grüsse, Amaro
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:45 Sa 21.11.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Amaro,
> > > Klassifizieren Sie alle endlichen Untergruppen von SU(2)
> > > bis auf Isomorphie.
> > >
> > > Ähm, ja.. tolle Aufgabe ^^
> > >
> > > Ich weiss nicht mal, wie ich anfangen soll. Hat jemand
> > > vielleicht einen Tipp oder möchte die Aufgabe mit mir
> > > entwickeln?
> >
> > Einen Tipp haette ich: schau dir doch erstmal die Elemente
> > mit endlicher Ordnung in [mm]SU(2)[/mm] an. Beachte dazu, dass
> > unitaere Matrizen diagonalisierbar sind.
> >
> > Endliche Untergruppen muessen ja aus Elementen endlicher
> > Ordnung bestehen, dann weisst du schonmal welche Elemente
> > drinnenliegen :)
> >
> > Als naechstes kannst du dir ueberlegen, wann das Produkt
> > von zwei Elementen endlicher Ordnung wieder endliche
> > Ordnung hat. Ich vermute mal, dass du damit ziemlich viel
> > der Aufgabe erledigen kannst.
> >
>
> Ich habe versucht, alles aufzuschreiben.. aber SU(2) ist ja
> nicht endlich, wodurch ich nichts wirkilch aussagen kann..
Ja, da muss man aufpassen.
> Dann, beim Hilfe suchen in meinem Buch, bin ich auf eine
> interessante Aussage gestossen:
>
> "Es gibt einen surjektiven Homomorphismus [mm]\phi:SU(2) \to[/mm]
> SO(3)"
>
> Da dachte ich mir: super, ich kenne ja alle endliche
> Untergruppen von SO(3)! Vielleicht kann ich was damit
> anfangen.
Gut moeglich :)
> (Ich hoffe, du bist nicht böse, wenn ich einen anderen Weg
> einschlage als der von dir vorgeschlagenen ;))
Das ist schon ok. Ich kenn mich mit der Materie nicht so aus, deswegen sind meine Ansaetze nicht immer die optimalsten 
> Gut, also mal kurz zusammenfassen was ich alles weiss...
>
> [mm]\phi:[/mm] SU(2) [mm]\to[/mm] SO(3) surjektiver Homomorphismus
> [mm]ker(\phi)[/mm] = [mm]{\pm E}[/mm]
> [mm]im(\phi)[/mm] = SO(3)
>
> Gut. Ich bezeichne jetzt mit P eine endliche Untergruppe
> von SU(2). Dann:
>
> [mm]\phi(P)[/mm] = U [mm]\in[/mm] SO(3) endlich.
Genau.
> [mm]|Im(\phi)||ker(\phi)|[/mm] = |P|
Du meinst hier nicht [mm] $Im(\phi)$, [/mm] oder? Eher sowas wie [mm] $\phi(P) [/mm] = U$?
Allerdings gilt nicht $|U| [mm] \cdot |\ker \phi| [/mm] = |P|$; dies ist nur der Fall, wenn [mm] $\ker \phi \subseteq [/mm] U$ ist.
> [mm]\Rightarrow[/mm] |P| hängt von |U|
> ab!. Ausserdem ist [mm]|ker(\phi)|[/mm] = 1 oder 2. Das ergibt eine
Moment! [mm] $\ker \phi$ [/mm] hat immer zwei Elemente, naemlich [mm] $\pm [/mm] E$!
Oder bezeichnest du gerade mit [mm] $\phi$ [/mm] die Einschraenkung von [mm] $\phi$ [/mm] auf $P$? In dem Fall macht das alles mehr Sinn. Nennen wir das ganze mal [mm] $\psi$, [/mm] damit es nicht durcheinanderkommt; also [mm] $\psi [/mm] = [mm] \psi|_P$ [/mm] und es gilt [mm] $|im(\psi)| \cdot |\ker(\psi)| [/mm] = |P|$.
> Fallunterscheidung:
>
> - [mm]|ker(\phi)|[/mm] = 1: Dann habe ich einen Isomorphismus. Das
> geht aber nur, wenn |U| = 2n+1, n [mm]\in \IN_{\ge 0}.[/mm]
> (Beweisen kann man das, indem man sagt, ok.. habe ich |U| =
> 2n, dann habe ich einen Element von Ordnung 2. Dann hat
> aber sein Urbild auch Ordnung 2. Das einzige Element aber
> in SU(2) mit Ordnung 2 ist -E, und das liegt im Kern.. also
> gehts nicht).
Ok.
> Gut, also sind die Bilder der Gruppen mit ungerader Ordnung
> zyklisch mit ebenfalls ungerader Ordnung.
Dass sie zyklisch sind musst du noch beweisen, bzw. auf ein entsprechendes Resultat in $O(3)$ zurueckgreifen.
> - [mm]|ker(\phi)|[/mm] = 2: Dann habe ich |P| = 2|U| und somit wird
> jedes Element aus P auf 2 Elemente von U abgebildet...
>
> Wie kann ich jetzt mit dem zweiten Fall weiter machen??
Vielleicht eine Fallunterscheidung:
a) in $P$ gibt es kein Element der Ordnung 4; in dem Fall ist $|U|$ ungerade (da es in $SO(2)$ nur ein Element der Ordnung 2 gibt), und somit muss $P$ zyklisch sein (du hast einen Normalteiler der Ordnung 2 und einen der Ordnung $|U|$ in $P$, also ist $P$ isomorph zum direkten Produkt dieser und ist somit zyklisch, da teilerfremde Ordnungen).
b) in $P$ gibt es (min.) ein Element der Ordnung 4. Hier muss man wohl noch etwas basteln.
LG Felix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:33 Sa 21.11.2009 | | Autor: | Arcesius |
Hallo Felix!
> b) in [mm]P[/mm] gibt es (min.) ein Element der Ordnung 4. Hier muss
> man wohl noch etwas basteln.
>
Ich werde es auf jeden Fall versuchen..
Trotzdem, du hast mir wieder mal weiter geholfen.. Danke! :)
> LG Felix
>
Liebe Grüsse, Amaro
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