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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:24 Di 25.01.2005 | | Autor: | SERIF |
Guten Tag. Grüß Gott. Ich brauche heute echt die Hilfe (wie immer) von Matheraumteam. Damit ich zur Anklasur zugelassen werde. DANKE DANKE DANKE
Seien f auf [-1,0] und g auf [0,1] stetige reelle Funktionen.
Wie zeige ich denn dass
F:[-1,1] [mm] \to \IR, [/mm] t [mm] \mapsto \begin{cases} f(t), & \mbox{für } t \in [-1,0]\\ g(t), & \mbox{für } t \in[0,1] \end{cases}
[/mm]
genau dann stetig ist, wenn f(0)=g(0) ist. Danke für die Hilfe.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:47 Di 25.01.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Also ich muss ja selbst noch lernen, ich versuchs mal:
Das das logisch ist, was zu beweisen ist, ist ja eigentlich leicht, aber mal schaun ob ichs formel auch hinbekomm:
Die Kritische Stelle ist ja t=0.
Es gilt nach Vorraussetzung:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}g(t)=g(0)\; t\in [/mm] [0,1]
[mm] \limes_{t\rightarrow0}f(t)=f(0)\; t\in [/mm] [-1,0]
t nähert sich von links : t<0
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}F(t)=\limes_{t\rightarrow 0}f(t)=f(0)
[/mm]
t nähert sich von rechts t>0
[mm] \limes_{t\rightarrow0}F(t)=\limes_{t\rightarrow 0}g(t)=g(0)
[/mm]
Die rechte und linke Grenzwert muss für eine Stetigkeit gleich sein, daher folgt f(0)=g(0)
Bis denn
Faenôl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:05 Di 25.01.2005 | | Autor: | SERIF |
Erstmal danke ich dir sehr sehr sehr. Und wollte fragen ob das als beweis richtig ist? Wei du sagttest villeicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:12 Di 25.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo SERIF!
> Erstmal danke ich dir sehr sehr sehr. Und wollte fragen ob
> das als beweis richtig ist? Wei du sagttest villeicht.
Deine Aufgabe macht so keinen wirklichen Sinn:
https://matheraum.de/read?i=39421
Prüfe bitte mal die Aufgabenstellung. Bei korrigierter Aufgabenstellung wird der Beweis vermutlich sehr ähnlich zu Faenols Vorschlag verlaufen. Du hast aber zwei Richtungen zu zeigen (da "genau dann" da steht; es wird also eine Äquivalenz behauptet). Auch, wenn die eine Richtung sehr klar ist, solltest du dennoch irgendwas dazu schreiben (oder auf einen Satz, der die Stetigkeit charakterisiert, verweisen)!
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:07 Di 25.01.2005 | | Autor: | SERIF |
Ich danke dir Stefan vielmals. Dann nehme ich die Lösung von Faneol als beweis. oder möchtest du noch dazu hinzufügen? Ich habe kopier was faneol mir gesagt hat.
Die Kritische Stelle ist ja t=0.
Es gilt nach Vorraussetzung:
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}g(t)=g(0)\; t\in [/mm] [0,1]
[mm] \limes_{t\rightarrow0}f(t)=f(0)\; t\in [/mm] [-1,0]
t nähert sich von links : t<0
[mm] \limes_{t\rightarrow 0}F(t)=\limes_{t\rightarrow 0}f(t)=f(0) [/mm]
t nähert sich von rechts t>0
[mm] \limes_{t\rightarrow0}F(t)=\limes_{t\rightarrow 0}g(t)=g(0) [/mm]
Die rechte und linke Grenzwert muss für eine Stetigkeit gleich sein, daher folgt f(0)=g(0)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:24 Di 25.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo SERIF!
> Ich danke dir Stefan vielmals. Dann nehme ich die Lösung
> von Faneol als beweis. oder möchtest du noch dazu
> hinzufügen? Ich habe kopier was faneol mir gesagt hat.
>
> Die Kritische Stelle ist ja t=0.
>
> Es gilt nach Vorraussetzung:
(Ergänzung: Die "Voraussetzung" ist die Stetigkeit von $f$ und $g$ auf ihrem Definitionsbereich, insbesondere in [mm] $x_0=0$.)
[/mm]
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}g(t)=g(0)\; t\in[/mm] [0,1]
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow0}f(t)=f(0)\; t\in[/mm] [-1,0]
> t nähert sich von links : t<0
> [mm]\limes_{t\rightarrow 0}F(t)=\limes_{t\rightarrow 0}f(t)=f(0)[/mm]
>
> t nähert sich von rechts t>0
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow0}F(t)=\limes_{t\rightarrow 0}g(t)=g(0)[/mm]
>
>
> Die rechte und linke Grenzwert muss für eine Stetigkeit
> gleich sein, daher folgt f(0)=g(0)
Den letzten Satz (das durchgestrichene) würde ich so nicht schreiben; da sieht man nicht, was eigentlich gezeigt wurde. Die eigentliche Behauptung (die Äquivalenz der Aussagen) folgt dann (das kannst du dir überlegen) mit Satz 10.7, ![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf, S. 94 (skriptinterne Zählung)
Oder such mal nach einem Satz in eurer Vorlesung, wo die Stetigkeit einer Funktion im Punkt [mm] $x_0$ [/mm] mit rechtsseitigen, linksseitigen Grenzwert der Funktion an dieser Stelle und dem Funktionswert von [mm] $x_0$ [/mm] charakterisiert wird.
Und jetzt mußt du noch die Reihenfolge des Beweises anpassen. Ich schreibe dir den Beweis lieber doch mal sauber auf. Irgendwie bin ich heute neben der Kappe...
Beweis (ähnlich wie von Faenol vorgeschlagen): ![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]") https://matheraum.de/read?i=39560
Viele Grüße,
Marcel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 Di 25.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo Serif!
> Guten Tag. Grüß Gott. Ich brauche heute echt die Hilfe (wie
> immer) von Matheraumteam. Damit ich zur Anklasur zugelassen
> werde. DANKE DANKE DANKE
>
> Seien f auf [-1,0] und g auf [0,1] stetige reelle
> Funktionen.
> Wie zeige ich denn dass
>
> F:[-1,1] [mm]\to \IR,[/mm] t [mm]\mapsto \begin{cases} f(t), & \mbox{für } t \in [-1,0]\\ g(t), & \mbox{für } t \in[0,1] \end{cases}
[/mm]
> genau dann stetig ist...
Da stimmt irgendwas nicht.
(Das stimmt schon so! Tut mir leid! ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") )
Wenn $F$ so definiert wäre, dann würde sofort [m]f(0)=g(0)[/m] folgen, denn andernfalls wäre $F$ nicht wohldefiniert (denn wäre [mm] $f(0)\not=g(0)$, [/mm] so wäre $F(0)$ nicht eindeutig und damit wäre $F$ keine Funktion mehr).
Lautet die Aufgabenstellung vielleicht so:
[mm]F:\; [-1,1] \to \IR,[/mm], [mm]t \mapsto \begin{cases} f(t), & \mbox{für } t \in [-1,0)\\ g(t), & \mbox{für } t \in [0,1] \end{cases}
[/mm]
Zeige: $F$ ist stetig genau dann, wenn [mm]\lim_{x \to 0^-}f(x)=g(0)\;(=F(0))[/mm] gilt?
(Wobei [mm]\lim_{x \to 0^-}f(x):=\lim_{x < 0,\,x \to 0}f(x)[/mm].)
Meine Nachfrage hat sich mittlerweile erledigt; die Aufgabenstellung war korrekt, siehe https://matheraum.de/read?i=39446. Entschuldigt meine Verwirrung. 
Viele Grüße,
Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:29 Di 25.01.2005 | | Autor: | SERIF |
Die Aufgabenstellung habe ich richtig geschrieben. so steht das im Übungsblatt. Wrenn du Lust hat kannst du auch dire Aufgabe hir sehen
http://www.uni-essen.de/~mat201/
unter Öffentliches dann ANALYSIS I WITSCH
dann 13.ÜBUNGSBLATT
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:51 Di 25.01.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo!
Ja, das ist richtig, die Aufgabenstellung ist korrekt so, da hat Marcel vermutlich was übersehen (was normalerweise praktisch nie passiert).
Wenn $F$ stetig ist, folgt automatisch $f(0)=g(0)$. Zwar auch, wenn es nicht stetig ist (eben sofort, wie richtig angemerkt, aus der Wohldefiniertheit), aber das macht ja nichts. Und wenn $f(0)=g(0)$ gilt, dann ist $F$ eben wohldefiniert und, wie man zeigen kann, sogar stetig.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Di 25.01.2005 | | Autor: | SERIF |
ok danke allen. Ich wollte stefan fragen ob er noch dazu was Faneol geschrieben hat, noch was zufügen möchte. oder reich das was faneol geschrieben hat? Danke
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:08 Di 25.01.2005 | | Autor: | Marcel |
Hallo SERIF!
Also: Beweis der Behauptung: $F$ stetig [mm] $\gdw$ [/mm] $f(0)=g(0)$
[mm] "$\Rightarrow$"
[/mm]
Da $F$ als Funktion wohldefiniert sein muss, folgt unmittelbar $f(0)=g(0)$.
[mm] "$\Leftarrow$"
[/mm]
Gelte nun $f(0)=g(0)$ [mm] $(\star)$. [/mm] Offenbar ist $F$ stetig auf $[-1,0) [mm] \cup [/mm] (0,1]$ (warum?). Es genügt also, die Stetigkeit von $F$ in [mm] $x_0=0$ [/mm] nachzurechnen. Dazu wiederum genügt es, zu zeigen, dass [m]\lim_{t \to 0^-}F(t)=F(0)=\lim_{t \to 0^+}F(t)[/m] gilt (ich hoffe, ihr hattet so einen Satz. Ansonsten kannst du dir das mit dem Satz 10.7 überlegen, den ich gleich angebe). Wir zeigen dies:
Da $f$ stetig auf $[-1,0]$, ist $f$ insbesondere stetig in [mm] $x_0=0$. [/mm] Also folgt (z.B. wegen http://www.mathematik.uni-trier.de/~mueller/AnalysisI-IV.pdf, Satz 10.7, S.94 (skriptinterne Zählung)):
[mm]\limes_{t\rightarrow 0^-}F(t)\stackrel{nach\;Def.\;von\;F}{=}\limes_{t\rightarrow 0^-}f(t)=f(0)[/mm]
Da $g$ stetig auf $[0,1]$ ist, also insbesondere in [mm] $x_0=0$, [/mm] folgt (z.B. wieder wegen Satz 10.7)
[mm]\limes_{t\rightarrow 0^+}F(t)\stackrel{nach\;Def.\;von\;F}{=}\limes_{t\rightarrow 0^+}g(t)=g(0)[/mm]
Damit erhalten wir:
[mm]\limes_{t\rightarrow 0^+}F(t)=g(0)\stackrel{wegen\;(\star)}{=}f(0)=\lim_{t \to 0^-}F(t)[/mm], und wegen $F(0)=g(0)=f(0)$ (so ist $F(0)$ ja definiert) folgt dann, dass $F$ auch stetig in [mm] $x_0=0$ [/mm] ist; also ist $F$ stetig (beachte auch, dass wegen $F(0)=g(0)=f(0)$ $F$ wohldefiniert ist!)
Viele Grüße,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:31 Mi 26.01.2005 | | Autor: | SERIF |
Ich danke allen. Die sich mühe gegeneb haben. Schön abend noch
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![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]"){kind=small}
Aber du hast Recht: Die Aufgabe hat schon einen Sinn. Nur für mich hatte sie keinen ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]"){kind=small}
). Naja... 