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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:41 Fr 26.04.2013 | | Autor: | valoo |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die natürliche Abbildung [mm] SL_{n}(\IZ) \to SL_{n}(\IZ/m)
[/mm]
für alle m surjektiv ist. |
Heyho!
Zu zeigen ist: Hab ich eine Matrix A über [mm] \IZ, [/mm] deren Determinante
$ det(A) [mm] \equiv [/mm] 1 \ mod \ m $, also $ det(A)=a [mm] \cdot [/mm] m + 1 $ ist, so muss ich irgendwie von den Einträgen von A Vielfache von m subtrahieren oder addieren, sodass dann 1 heraus kommt...Doch wie zur Hölle stelle ich das an? Für den einfachen Fall, dass n=m=2 ist, ist mir das gelungen, aber wie macht man das für eine beliebig große Matrix? Es gilt ja die Leibnizformel:
$ [mm] det(A)=\prod_{\sigma} sign(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{i, \sigma(i)} [/mm] = 1 + km $ Nun kann auf die [mm] a_{i,j} [/mm] die Vielfachen [mm] k_{i,j} [/mm] m draufaddieren
$ [mm] \prod_{\sigma} sign(\sigma) \prod_{i=1}^{n} [/mm] ( [mm] a_{i, \sigma(i)} [/mm] + [mm] k_{i,\sigma(i)} [/mm] m ) = 1 = det(A) - k m $ womit man eine wahnsinnig hässliche diophantische Lösung hat und ich keine Ahnung hab, wie man nun sehen könnte, dass das Ding tatsächlich eine Lösung hat...
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Wie sieht deine natürliche Abbildung aus?
Es gilt für [mm]\alpha\in K[/mm] und eine [mm]n\times n[/mm] Matrix [mm]M\in K^{n\times n\[/mm] doch
[mm]\operator{det}(\alpha M)=\alpha^n\cdot \operatorname{det}M[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:15 Sa 27.04.2013 | | Autor: | valoo |
> Wie sieht deine natürliche Abbildung aus?
>
Naja, einfach komponentenweise modulo rechnen...
> Es gilt für [mm]\alpha\in K[/mm] und eine [mm]n\times n[/mm] Matrix [mm]M\in K^{n\times n\[/mm]
> doch
>
> [mm]\operator{det}(\alpha M)=\alpha^n\cdot \operatorname{det}M[/mm]
Ja...aber wie hilft mir das?
[mm] det(M+l m M)=det((1+l m)M)=(1+l m)^{n} det(M) = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} ( l m )^{i} ( 1 + k m ) [/mm]
sieht auch nicht viel einfacher aus...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:20 Do 02.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:26 Sa 27.04.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Zeigen Sie, dass die natürliche Abbildung [mm]SL_{n}(\IZ) \to SL_{n}(\IZ/m)[/mm]
> für alle m surjektiv ist.
>
> Zu zeigen ist: Hab ich eine Matrix A über [mm]\IZ,[/mm] deren
> Determinante
> [mm]det(A) \equiv 1 \ mod \ m [/mm], also [mm]det(A)=a \cdot m + 1[/mm] ist,
> so muss ich irgendwie von den Einträgen von A Vielfache
> von m subtrahieren oder addieren, sodass dann 1 heraus
> kommt...Doch wie zur Hölle stelle ich das an? Für den
> einfachen Fall, dass n=m=2 ist, ist mir das gelungen, aber
Wie waer es, wenn du uns erstmal verraetst, wie du das bei $2 [mm] \times [/mm] 2$-Matrizen gemacht hast?
> wie macht man das für eine beliebig große Matrix? Es gilt
Zwei Hinweise:
a) Wenn du zur ersten Spalte von $A$ den Vektor [mm] $(b_1 [/mm] m, [mm] \dots, b_n [/mm] m)$ addierst, kannst du die Determinante vom neuen $A$ ausdruecken als [mm] $\det [/mm] A + m [mm] \det [/mm] A'$, wobei $A'$ aus $A$ entsteht, indem man die erste Spalte durch [mm] $(b_1, \dots, b_n)$ [/mm] ersetzt. Wenn du [mm] $(b_1, \dots, b_n)$ [/mm] so waehlen kannst, dass [mm] $\det [/mm] A' = 1$ ist, kannst du [mm] $(b_1, \dots, b_n)$ [/mm] mit [mm] $\frac{1 - \det A}{m}$ [/mm] multiplizieren und bist fertig, weil danach [mm] $\det [/mm] A + m [mm] \det [/mm] A' = 1$ ist.
So kommt man dann irgendwann zum Ziel, aber man muss vermutlich noch viel Arbeit investieren. Damit man das einfacher machen kann, schreib doch mal wie du das im Fall $2 [mm] \times [/mm] 2$ gemacht hat und was ihr schon hattet.
b) Wenn du die gleiche Aussage schon fuer [mm] $GL_n(\IZ) \to GL_n(\IZ/m\IZ)$ [/mm] hast, wuerde das sicher auch helfen. Oder wenn ihr Normalformen wie die Hermitsche Normalform oder die Smith-Normalform hattet. Insofern erzaehl doch schonmal, was ihr schon in die Richtung gemacht habt. Falls irgendwas.
LG Felix
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(Frage) überfällig | | Datum: | 13:09 Mi 01.05.2013 | | Autor: | valoo |
> Wie waer es, wenn du uns erstmal verraetst, wie du das bei
> [mm]2 \times 2[/mm]-Matrizen gemacht hast?
Ich hab nicht gesagt, dass ich das für den allgemeinen $ [mm] 2\times [/mm] 2 $-Fall gemacht habe...Nur für m=n=2 und da gibts ja garnicht so viel Möglichkeiten. Insgesamt 7 Matrizen (im kanonischen Repräsentantensystem) mit Determinante kongruent 1 mod 2 gibt es, wovon nur 3 über den ganzen Zahlen die Determinante -1 haben. Da reicht es in einem (bei zweien) bzw. in drei Einträgen (bei einer) eine 2 zu addieren.
> > wie macht man das für eine beliebig große Matrix? Es gilt
>
> Zwei Hinweise:
>
> a) Wenn du zur ersten Spalte von [mm]A[/mm] den Vektor [mm](b_1 m, \dots, b_n m)[/mm]
> addierst, kannst du die Determinante vom neuen [mm]A[/mm]
> ausdruecken als [mm]\det A + m \det A'[/mm], wobei [mm]A'[/mm] aus [mm]A[/mm]
> entsteht, indem man die erste Spalte durch [mm](b_1, \dots, b_n)[/mm]
> ersetzt. Wenn du [mm](b_1, \dots, b_n)[/mm] so waehlen kannst, dass
> [mm]\det A' = 1[/mm] ist, kannst du [mm](b_1, \dots, b_n)[/mm] mit [mm]\frac{1 - \det A}{m}[/mm]
> multiplizieren und bist fertig, weil danach [mm]\det A + m \det A' = 1[/mm]
> ist.
>
> So kommt man dann irgendwann zum Ziel, aber man muss
> vermutlich noch viel Arbeit investieren. Damit man das
> einfacher machen kann, schreib doch mal wie du das im Fall
> [mm]2 \times 2[/mm] gemacht hat und was ihr schon hattet.
>
Zu dem Thema eigentlich garnichts...
> b) Wenn du die gleiche Aussage schon fuer [mm]GL_n(\IZ) \to GL_n(\IZ/m\IZ)[/mm]
> hast, wuerde das sicher auch helfen.
Aber das ist doch trivial?
> Oder wenn ihr Normalformen wie die Hermitsche Normalform oder die
> Smith-Normalform hattet. Insofern erzaehl doch schonmal,
> was ihr schon in die Richtung gemacht habt. Falls
> irgendwas.
Hab ich vorher noch nie was von gehört. Aber tu ich mal so, als wenn dem nicht so wäre. Smith-Normalform ist einfach zu einer Matrix A über [mm] \IZ [/mm] eine Matrix A'=M A N in Diagonalgestalt, wobei M und N speziell linear sind? Dann kann man ObdA annehmen, dass man eine Diagonalmatrix A mit Einträgen [mm] a_{i} [/mm] über [mm] \IZ [/mm] hat, deren Determinante, also $ [mm] \prod_{i} a_{i} \equiv [/mm] 1 \ mod \ m $ ist...Das macht das ganze ein wenig einfacher, aber ich sehe noch nicht mal im zweidimensionalen Fall, warum es denn nun eine spezielle lineare Matrix B gibt mit$ B [mm] \equiv [/mm] A \ mod \ m $
Ich habe übrigens gelesen, dass die Aussage daraus folgen würde, das die spezielle lineare Gruppen von Elementarmatrizen erzeugt werden würde, das heißt aus Matrizen mit 1 auf der Diagonale und einem Nichtnulleintrag an genau einer anderen Stelle. Und es ist klar, dass die Elementarmatrizen im Bild der natürlichen Abbildung sind. Die Frage die ich mir dabei jedoch stelle ist: Warum erzeugen die Elementarmatrizen denn auch [mm] SL_{n}(\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) [/mm] für beliebiges m? Ist das nicht nur wahr für Körper, Schiefkörper oder euklidische Ringe?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Fr 03.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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