SDE + Konvergenz < stoch. Analysis < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:20 Sa 12.01.2013 | | Autor: | ajuda |
| Aufgabe | Let [mm] X^{\varepsilon} [/mm] be the solution to the one-dimensional stochastic differential [mm] equation\left\{ \begin{array}{ccc}
\mathrm{d}X_{t}^{\varepsilon} & = & b(X_{t}^{\varepsilon})\mathrm{d}t+\varepsilon\sigma(X_{t}^{\varepsilon})\mathrm{d}B_{t},\\
X_{0}^{\varepsilon} & = & x
\end{array}\right. [/mm] where b and [mm] \sigma [/mm] are Lipschitz functions, and [mm] \sigma [/mm] is bounded. Consider the ordinary differential [mm] equation\left\{ \begin{array}{ccc}
\gamma'_{t} & = & b(\gamma_{t}),\\
\gamma_{0} & = & x.
\end{array}\right. [/mm] We want to prove that [mm] X_{t}^{\varepsilon} [/mm] converges to [mm] \gamma_{t} [/mm] , when [mm] \varepsilon\longrightarrow0 [/mm] , in probability, and give the speed of convergence, by completing the next steps:
(a) Let [mm] \eta_{t}^{\varepsilon}=X_{t}^{\varepsilon}-\gamma_{t} [/mm] . Prove [mm] that\left\{ \begin{array}{ccc}
\mathrm{d}\eta_{t}^{\varepsilon} & = & (b(\eta_{t}^{\varepsilon}+\gamma_{t})-b(\gamma_{t}))\mathrm{d}t+\varepsilon\sigma(\eta_{t}^{\varepsilon}+\gamma_{t})\mathrm{d}B_{t},\\
\eta_{0}^{\varepsilon} & = & 0.
\end{array}\right. [/mm] (b) Prove that for any T>0 , [mm] \alpha>0 ,\left\{ \sup_{0\leq s\leq T}\left|\varepsilon\int_{0}^{s}\sigma(\eta_{t}^{\varepsilon}+\gamma_{t})\mathrm{d}B_{t}\right|
[mm] (c)\mathbb{P}\left(\sup_{0\leq s\leq T}|X^{\varepsilon}-\gamma_{s}|>\alpha\right)\leq2\exp\left(-\frac{\alpha^{2}e^{-2CT}}{2\varepsilon^{2}T|\sigma|_{\infty}^{2}}\right). [/mm] (d) Deduce that [mm] X_{t}^{\varepsilon} [/mm] converges to [mm] \gamma_{t} [/mm] as [mm] \varepsilon\longrightarrow0 [/mm] , in probability, and, hence, in law, to a deterministic random variable. |
Hallo,
ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: matheplanet. com (Stochastische Differentialgleichung + Konvergenz)
Meine Lösungsvorschläge:
(a) Habe ich mit der Itô Formel gelöst
(b) Hier habe ich Folgendes gerechnet:
[mm] \sup_{0\leq s\leq T}\left|\varepsilon\int_{0}^{s}\sigma(\eta_{t}^{\varepsilon}+\gamma_{t})\mathrm{d}B_{t}\right|&=&\sup_{0\leq s\leq T}\left|\mathrm{\eta_{s}^{\varepsilon}-\int_{0}^{s}(b(\eta_{t}^{\varepsilon}+\gamma_{t})-b(\gamma_{t}))\mathrm{d}t}\right|\\&\leq&\sup_{0\leq s\leq T}\left|\mathrm{\eta_{s}^{\varepsilon}}\right|+\sup_{0\leq s\leq T}\left|\mathrm{\int_{0}^{s}(b(\eta_{t}^{\varepsilon}+\gamma_{t})-b(\gamma_{t}))\mathrm{d}t}\right|\\&\leq&\sup_{0\leq s\leq T}\left|\mathrm{\eta_{s}^{\varepsilon}}\right|+\sup_{0\leq s\leq T}\mathrm{\int_{0}^{s}|(b(\eta_{t}^{\varepsilon}+\gamma_{t})-b(\gamma_{t}))|\mathrm{d}t}\\&\overset{{\scriptstyle b\mathrm{\; is}}}{\underset{{\scriptstyle \mathrm{L-continuous}}}{\leq}}&\sup_{0\leq s\leq T}\left|\mathrm{\eta_{s}^{\varepsilon}}\right|+\sup_{0\leq s\leq T}\mathrm{\int_{0}^{s}L|\eta_{t}^{\varepsilon}+\gamma_{t}-\gamma_{t}|\mathrm{d}t}\\&=&\sup_{0\leq s\leq T}\left|\mathrm{\eta_{s}^{\varepsilon}}\right|+L\sup_{0\leq s\leq T}\mathrm{\int_{0}^{s}|\eta_{t}^{\varepsilon}|\mathrm{d}t}\\&=&\sup_{0\leq s\leq T}\left|\mathrm{\eta_{s}^{\varepsilon}}\right|+L\mathrm{\int_{0}^{T}|\eta_{t}^{\varepsilon}|\mathrm{d}t}\\&\leq&\sup_{0\leq s\leq T}\left|\mathrm{\eta_{s}^{\varepsilon}}\right|+L\mathrm{\int_{0}^{T}\sup_{0\leq t\leq T}|\eta_{t}^{\varepsilon}|\mathrm{d}t} [/mm]
Um die Mengeninklusion zu zeigen, muss man wohl Gronwalls Lemma anwenden. Dies will mir aber nicht gelingen.
Gronwall's lemma: Let [mm] u,\: v\;:\;[0,T]\rightarrow\mathbb{R}_{+} [/mm] be functions such that u is Lebesgue integrable and v is measurable and bounded. Assume that [mm] v(t)\leq\alpha+\int_{0}^{t}u(s)v(s)\mathrm{d}s, [/mm] for some constant [mm] \alpha\geq0 [/mm] and for any [mm] t\in[0,T]. [/mm] Then [mm] v(t)\leq\alpha\exp\left(\int_{0}^{t}u(s)\mathrm{d}s\right) [/mm] Here: [mm] v(t)=\sup_{0\leq s\leq t}\left|\eta_{s}^{\varepsilon}\right| [/mm] u(t)=c
Dafür müsste ich aber auf Folgendes kommen:
[mm] \sup_{0\leq t\leq T}\left|\eta_{t}^{\varepsilon}\right|\leq\alpha+\int_{0}^{T}c\sup_{0\leq s\leq T}\left|\eta_{s}^{\varepsilon}\right|\mathrm{d}s
[/mm]
Wie komme ich auf die richtige Lösung?
(c) [mm] \mathbb{P}\left(\sup_{0\leq s\leq T}|X^{\varepsilon}-\gamma_{s}|>\alpha\right)&=&\mathbb{P}\left(\sup_{0\leq s\leq T}|\eta_{s}^{\varepsilon}|>\alpha\right)
[/mm]
Danach habe ich noch ein paar weitere Umformungen gemacht, aber ich bin nicht zu etwas gekommen, wo (und wie?) ich Aufgabe (b) anwenden kann. Seht ihr den Trick?
(d) ist eine einfache Folgerung aus (c), wenn auf der rechten Seite [mm] \varepsilon [/mm] gegen 0 konvergiert.
Ich hoffe ihr könnt mir so schnell wie möglich behilflich sein. Vielen Dank!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:52 So 13.01.2013 | | Autor: | ajuda |
Hat jemand schon eine Idee?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:43 Mo 14.01.2013 | | Autor: | ajuda |
Teilaufgabe (b) habe ich jetzt gelöst und zu (c) habe ich folgenden Tipp:
(c) See what happens if you use a constant of the type [mm] c:=\alpha \exp
[/mm]
(-LT), and use (b) in order to get an inequality of the type
[mm] \mathbb{P}\left(\sup_{0\leq s\leq
T}\left|\eta_{s}^{\varepsilon}\right|>\alpha\right)\leq\mathbb{P}\left(\sup_{0\leq
s\leq T}\left|B_{s}\right|>\frac{\alpha\exp(-LT)}{\varepsilon|\sigma|_{\infty}}\right)
[/mm]
Use the properties of the absolute value of the Brownian motion (e.g.,
reflection principle, -B ~ B, or something like that) in order to get
result.
Leider habe ich keine Ahnung, wie ich zu der angegebenen Gleichung komme und (b) anwende. Auch weiß ich nicht, wie ich von dort mit der Reflexionseigenschaft oder sonstigem auf das Ergebnis komme.
Ich hoffe, ihr könnt mir schnell helfen. Die Zeit drängt.
Vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Di 15.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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