S3,Normalteiler->Kongruenzrel. < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Man finde alle Kongruenzrelationen der symmetrischen Gruppe S3 |
Hallo!
Ich habe mir gerade alle Untergruppen auf Normalteilereigenschaft durchgerechnet. Dabei handelt es sich um 3 stück.
1. Die identische abbildung
2. die komplette s3
3. die untergruppe der ordnung 3:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3}, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2}, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}
[/mm]
Nun muss ich die Kongruenzrelationen bestimmen - Genau an diesem Punkt habe ich ein Problem. Ich habe zwar gelesen, dass man die Kongruenzrelationen direkt aus den Normalteilern bekommt, aber ich weiß nicht wie.
Vielleicht könnte mir jemand zeigen wie das funktioniert?
Vielen Dank!
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:49 Mo 16.05.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Man finde alle Kongruenzrelationen der symmetrischen Gruppe
> S3
>
> Ich habe mir gerade alle Untergruppen auf
> Normalteilereigenschaft durchgerechnet. Dabei handelt es
> sich um 3 stück.
>
> 1. Die identische abbildung
Du meinst die Menge, die die identische Abbildung enthaelt :)
> 2. die komplette s3
> 3. die untergruppe der ordnung 3:
> [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3}, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2}, \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Nun muss ich die Kongruenzrelationen bestimmen - Genau an
> diesem Punkt habe ich ein Problem. Ich habe zwar gelesen,
> dass man die Kongruenzrelationen direkt aus den
> Normalteilern bekommt, aber ich weiß nicht wie.
>
> Vielleicht könnte mir jemand zeigen wie das funktioniert?
Also: die Aequivalenzklassen der Kongruenzrelation sind gerade die Nebenklassen des Normalteilers. (Insbesondere ist der Normalteiler selber die Aequivalenzklasse vom neutralen Element.)
Wenn du also die Nebenklassen berechnest, hast du die Aequivalenzklassen der Kongruenzrelation, und damit die Kongruenzrelation (eine Aequivalenzrelation ist ja durch ihre Aequivalenzklassen vollstaendig gegeben).
LG Felix
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Hallo!
Danke für die schnelle Antwort!
Dementsprechend sind meine Kongruenzrelationen:
{ [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2} [/mm] } für den normalteiler S3
[mm] \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3} \}, \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1} \}, \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3} \}, \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1} \}, \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2} \}, \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2} \} [/mm] für Id
und für A3
[mm] \{ \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1} \}, \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3} \} \}
[/mm]
stimmt das so?
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:40 Mo 16.05.2011 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Moin!
> Danke für die schnelle Antwort!
>
> Dementsprechend sind meine Kongruenzrelationen:
>
> { [mm]\pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> } für den normalteiler S3
>
> [mm]\{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3} \}, \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1} \}, \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3} \}, \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1} \}, \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2} \}, \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2} \}[/mm]
> für Id
>
> und für A3
> [mm]\{ \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1} \}, \{ \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1}, \pmat{ 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3} \} \}[/mm]
>
>
> stimmt das so?
Wenn du die aeusseren geschweiften Klammern entweder ueberall oder nirgendwo verwendest (und nicht nur bei der dritten), dann ja, insoweit ihr Aequivalenzrelationen so aufschreiben duerft.
Also fuer mich als Korrektor waer's ok :)
LG Felix
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Dankeschön!
Noch eine Frage: Wie würde man den die Kongruenzrelation richtig hinschreiben?
lg
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:20 Do 19.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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