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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:16 So 08.02.2015 | | Autor: | knowhow |
| Aufgabe | Beispiel eines 3-Stufigen Runge-Kutta Verfahren
[mm] y_{n+1}=y_n+h(\bruch{1}{6}k_1+\bruch{4}{6}k_2+\bruch{1}{6}k_3) [/mm] mit den Zwischenstufen
[mm] k_1=f(t_n,y_n)
[/mm]
[mm] k_2=f(t_n+\bruch{h}{2},y_n+\bruch{h}{2}k_1)
[/mm]
[mm] k_3=f(t_n+h,y_n-hk_1+2hk_2) [/mm] |
Hallo,
Es handelt sich hier um keine Aufgabe, sondern ist ein auszug aus Wikipedia zum Thema Runge-Kutta Verfahren, mit dem ich mich zurzeit herumquäle.
Es handelt sich um die Simpsonregel und es war auch die Formel
[mm] k_j=f(t_n+hc_j,y_n+h\summe_{l=1}^{s}a_{jl}k_l) [/mm] geg, für die man diese Zwischensutfen berechnet.
von Simpsonregel wissen wir, dass s=3, die knoten [mm] c_1=0, c_2=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] c_3=1 [/mm] sind
man erhält dann:
[mm] k_1=f(t_n+hc_1,y_n+h\summe_{l=1}^{3}a_{jl}k_1)
[/mm]
[mm] =f(t_n,y_n) [/mm] aufgrund ajl=0 für [mm] l\ge [/mm] j
[mm] k_2=f(t_n+\bruch{h}{2},y_n+h(a_{21}k_1)
[/mm]
[mm] k_3=f(t_n+h,y_n+h(a_{31}k_1+a_{32}k_2))
[/mm]
Meine frage jetzt: Wie berechne ich allgemein die [mm] a_{21},a_{31},a_{32}? [/mm]
Wie berechne ich das runge Kutta verfahren wenn ich nur diese Butcher-tableau gegeben habe?
Das thema bereitet mir wirklich kopfzerbrechen und ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
dankschön im voraus.
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Hallo knowhow,
> Beispiel eines 3-Stufigen Runge-Kutta Verfahren
>
> [mm]y_{n+1}=y_n+h(\bruch{1}{6}k_1+\bruch{4}{6}k_2+\bruch{1}{6}k_3)[/mm]
> mit den Zwischenstufen
>
> [mm]k_1=f(t_n,y_n)[/mm]
> [mm]k_2=f(t_n+\bruch{h}{2},y_n+\bruch{h}{2}k_1)[/mm]
> [mm]k_3=f(t_n+h,y_n-hk_1+2hk_2)[/mm]
> Hallo,
>
> Es handelt sich hier um keine Aufgabe, sondern ist ein
> auszug aus Wikipedia zum Thema Runge-Kutta Verfahren, mit
> dem ich mich zurzeit herumquäle.
>
> Es handelt sich um die Simpsonregel und es war auch die
> Formel
>
> [mm]k_j=f(t_n+hc_j,y_n+h\summe_{l=1}^{s}a_{jl}k_l)[/mm] geg, für
> die man diese Zwischensutfen berechnet.
>
> von Simpsonregel wissen wir, dass s=3, die knoten [mm]c_1=0, c_2=\bruch{1}{2}[/mm]
> und [mm]c_3=1[/mm] sind
>
> man erhält dann:
>
> [mm]k_1=f(t_n+hc_1,y_n+h\summe_{l=1}^{3}a_{jl}k_1)[/mm]
> [mm]=f(t_n,y_n)[/mm] aufgrund ajl=0 für [mm]l\ge[/mm] j
>
> [mm]k_2=f(t_n+\bruch{h}{2},y_n+h(a_{21}k_1)[/mm]
>
> [mm]k_3=f(t_n+h,y_n+h(a_{31}k_1+a_{32}k_2))[/mm]
>
> Meine frage jetzt: Wie berechne ich allgemein die
> [mm]a_{21},a_{31},a_{32}?[/mm]
>
Entwickle dazu die exakte Lösung y(x+h) um den Punkt x.
Ausserdem entwickle [mm]f(x+\eta,y+\chi)[/mm] in einer Taylorreihe um (x,y).
Vergleiche dann die beiden Taylorreihen miteinander.
> Wie berechne ich das runge Kutta verfahren wenn ich nur
> diese Butcher-tableau gegeben habe?
>
Siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
> Das thema bereitet mir wirklich kopfzerbrechen und ich
> hoffe ihr könnt mir dabei helfen.
> dankschön im voraus.
Gruss
MathePower
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