Ruhelage und asy. stabil < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:48 Do 09.12.2010 | | Autor: | DesterX |
Hallo zusammen.
Ich hab leider einige Probleme im Zusammenhang mit DGL'en.
Und zwar betrachte ich die DGL:
[mm] $\dot{x}(t)= [/mm] f(t,x)$,
wobei $f(t,x):= [mm] \frac{1}{2+t} [/mm] - [mm] \bigg(\frac{1}{ln(2+t)} \bigg(\frac{1}{2+t}\bigg)^{C} [/mm] - [mm] \frac{1}{3+t}\bigg) [/mm] x(t)$,
mit $C>0$ sehr klein, genauer zu untersuchen.
Nun hab ich die folgenden Fragen:
1. Zunächst interessiert mich die Ruhelage der DGL. Wenn ich das richtig verstanden hab, suche ich dann ein $x(t)$ mit $f(x(t))=0$.
Setze ich meine Funktion Null und stelle um, erhalte ich:
[mm] $x^s(t)=\frac{ln(2+t)}{(2+t)^{1-C} + ln(2+t)}$.
[/mm]
Ist das nun meine Ruhelage bzw. mein stabiler Punkt [mm] $x^s$? [/mm] Kann ich nun daraus schließen, dass
[mm] $x^s(t) \rightarrow [/mm] 0$ für [mm] $t\rightarrow \infty$ [/mm] (für C hinreichend klein) und somit [mm] $x^s [/mm] = 0$ "im Grenzwert" stabil ist?
2. Durch Linearisierung des Problems möchte ich nun das Langzeitverhalten genauer unter die Lupe nehmen.
Ich habe gelesen, dass falls [mm] $f'(x^s) [/mm] < 0$ ist, ist die Ruhelage sogar asy. stabil (dh $x(t) [mm] \rightarrow x^s$). [/mm] Könnte ich so oder ähnlich auch hier argumentieren?
Ich wäre um jeden guten Tipp und Ratschlag dankbar.
Viele Grüße, Dester
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:24 So 12.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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