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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:35 Do 15.03.2007 | | Autor: | konalos |
| Aufgabe | | Bitte bilden Sie das Rotationsvolumen von der Funktion f(x) = x³+2 um die y-Achse zwischen x = 0 und x = 2. |
Hallo,
ich wollte das Rotationsvolumen auf zwei Arten bilden. Erstmal durch normale Rotationsvolumenberechnungen (engl.: Disks, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Disk_integration ):
y = x³ + 2
x³ = y - 2
x = [mm] \wurzel[3]{y - 2}
[/mm]
Die Grenzen ergeben sich aus a = f(0) = 2 und b = f(2) = 10.
V = Pi [mm] \* \integral_{a}^{b}{f(x)² dx}
[/mm]
V = Pi [mm] \* \integral_{2}^{10}{(y - 2)^{\bruch{2}{3}} dx}
[/mm]
V = Pi [mm] \* [/mm] [(y - [mm] 2)^{\bruch{5}{3}} \* \bruch{3}{5}] [/mm] von 2 bis 10
V = Pi [mm] \* [/mm] (3 [mm] \* \bruch{32}{5})
[/mm]
V = [mm] \bruch{96}{5} \* [/mm] Pi
Ist das soweit richtig?
Die zweite Methode nennt sich engl. "cylindrical shells" (http://en.wikipedia.org/wiki/Shell_method), den deutschen Namen weiß ich leider nicht.
Danach erhalte ich:
V = 2 [mm] \* [/mm] Pi [mm] \* \integral_{a}^{b}{f(x) \* x dx}
[/mm]
V = 2 [mm] \* [/mm] Pi [mm] \* \integral_{0}^{2}{(x³ + 2) \* x dx}
[/mm]
V = 2 [mm] \* [/mm] Pi [mm] \* \integral_{0}^{2}{x^{4} + 2x dx}
[/mm]
V = 2 [mm] \* [/mm] Pi [mm] \* [\bruch{x^{5}}{5} [/mm] + x²] von 0 bis 2
V = 2 [mm] \* [/mm] Pi [mm] \* [\bruch{32}{5} [/mm] + 4]
V = [mm] \bruch{104}{5} \* [/mm] Pi
Tja, und jetzt weiß ich nicht, wo der Fehler liegt. Es wäre nett, wenn mir jemand zumindest sagen könnte, ob eines der beiden Ergebnisse richtig ist. Perfekt wäre natürlich, wenn mir auch noch jemand den Fehler zeigen kann.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß,
Claus
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> Bitte bilden Sie das Rotationsvolumen von der Funktion f(x)
> = x³+2 um die y-Achse zwischen x = 0 und x = 2.
> Hallo,
>
> ich wollte das Rotationsvolumen auf zwei Arten bilden.
> Erstmal durch normale Rotationsvolumenberechnungen (engl.:
> Disks, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Disk_integration
> ):
>
> y = x³ + 2
> x³ = y - 2
> x = [mm]\wurzel[3]{y - 2}[/mm]
>
> Die Grenzen ergeben sich aus a = f(0) = 2 und b = f(2) =
> 10.
>
> V = Pi [mm]\* \integral_{a}^{b}{f(x)² dx}[/mm]
> V = Pi [mm]\* \integral_{2}^{10}{(y - 2)^{\bruch{2}{3}} dx}[/mm]
>
> V = Pi [mm]\*[/mm] [(y - [mm]2)^{\bruch{5}{3}} \* \bruch{3}{5}][/mm] von 2
> bis 10
> V = Pi [mm]\*[/mm] (3 [mm]\* \bruch{32}{5})[/mm]
> V = [mm]\bruch{96}{5} \*[/mm] Pi
>
> Ist das soweit richtig?
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Soweit richtig.
>
> Die zweite Methode nennt sich engl. "cylindrical shells"
> (http://en.wikipedia.org/wiki/Shell_method), den deutschen
> Namen weiß ich leider nicht.
>
> Danach erhalte ich:
> V = 2 [mm]\*[/mm] Pi [mm]\* \integral_{a}^{b}{f(x) \* x dx}[/mm]
>
> V = 2 [mm]\*[/mm] Pi [mm]\* \integral_{0}^{2}{(x³ + 2) \* x dx}[/mm]
> V = 2
> [mm]\*[/mm] Pi [mm]\* \integral_{0}^{2}{x^{4} + 2x dx}[/mm]
> V = 2 [mm]\*[/mm] Pi [mm]\* [\bruch{x^{5}}{5}[/mm]
> + x²] von 0 bis 2
> V = 2 [mm]\*[/mm] Pi [mm]\* [\bruch{32}{5}[/mm] + 4]
> V = [mm]\bruch{104}{5} \*[/mm] Pi
>
>
> Tja, und jetzt weiß ich nicht, wo der Fehler liegt. Es wäre
> nett, wenn mir jemand zumindest sagen könnte, ob eines der
> beiden Ergebnisse richtig ist. Perfekt wäre natürlich, wenn
> mir auch noch jemand den Fehler zeigen kann.
>
Die zweite von dir erwähnte Methode ist mir leider gänzlich unbekannt. Vielleicht kann jemand anderes Stellung dazu nehmen. Mit der ersten Methode hast du richtig gerechnet.
Gruß,
Tommy
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Hallo konalos und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Bitte bilden Sie das Rotationsvolumen von der Funktion f(x)
> = x³+2 um die y-Achse zwischen x = 0 und x = 2.
> Hallo,
>
> ich wollte das Rotationsvolumen auf zwei Arten bilden.
> Erstmal durch normale Rotationsvolumenberechnungen (engl.:
> Disks, siehe http://en.wikipedia.org/wiki/Disk_integration
> ):
>
> y = x³ + 2
> x³ = y - 2
> x = [mm]\wurzel[3]{y - 2}[/mm]
>
> Die Grenzen ergeben sich aus a = f(0) = 2 und b = f(2) =
> 10.
>
> V = Pi [mm]\* \integral_{a}^{b}{f(x)² dx}[/mm]
> V = Pi [mm]\* \integral_{2}^{10}{(y - 2)^{\bruch{2}{3}} dx}[/mm]
>
> V = Pi [mm]\*[/mm] [(y - [mm]2)^{\bruch{5}{3}} \* \bruch{3}{5}][/mm] von 2
> bis 10
> V = Pi [mm]\*[/mm] (3 [mm]\* \bruch{32}{5})[/mm]
> V = [mm]\bruch{96}{5} \*[/mm] Pi
>
> Ist das soweit richtig?
>
>
> Die zweite Methode nennt sich engl. "cylindrical shells"
> (http://en.wikipedia.org/wiki/Shell_method), den deutschen
> Namen weiß ich leider nicht.
Warum duchst du in der englischen Wikipedia, wenn du die Begriffe nicht recht verstehen kannst?!
schau doch einfach ![[]](/images/popup.gif) hier...
>
> Danach erhalte ich:
> V = 2 [mm]\*[/mm] Pi [mm]\* \integral_{a}^{b}{f(x) \* x dx}[/mm]
>
> V = 2 [mm]\*[/mm] Pi [mm]\* \integral_{0}^{2}{(x³ + 2) \* x dx}[/mm]
> V = 2
> [mm]\*[/mm] Pi [mm]\* \integral_{0}^{2}{x^{4} + 2x dx}[/mm]
> V = 2 [mm]\*[/mm] Pi [mm]\* [\bruch{x^{5}}{5}[/mm]
> + x²] von 0 bis 2
> V = 2 [mm]\*[/mm] Pi [mm]\* [\bruch{32}{5}[/mm] + 4]
> V = [mm]\bruch{104}{5} \*[/mm] Pi
>
>
> Tja, und jetzt weiß ich nicht, wo der Fehler liegt. Es wäre
> nett, wenn mir jemand zumindest sagen könnte, ob eines der
> beiden Ergebnisse richtig ist. Perfekt wäre natürlich, wenn
> mir auch noch jemand den Fehler zeigen kann.
>
Ich lasse die Frage noch eine Weile offen; vielleicht kennt ein anderer sich da besser aus...
Gruß informix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 Do 15.03.2007 | | Autor: | konalos |
Hallo,
> Warum duchst du in der englischen Wikipedia, wenn du die
> Begriffe nicht recht verstehen kannst?!
> schau doch einfach
> hier...
verstanden habe ich die Begriffe durchaus - ich kenne sie von meinem Auslandsaufenthalt in den USA. Nur habe ich kein entsprechendes Pendant zur Shell-Methode auf der deutschsprachigen Wikipedia gefunden, und ich wollte niemanden mit einer freien Übersetzung à la "zylinderförmige Schalen" verwirren, da ich wie gesagt nicht weiß, wie die korrekte Übersetzung lautet.
Trotzdem vielen Dank für die Bemühungen ... glücklicherweise hat ja doch noch jemand mein Kauderwelsch verstanden ;) ...
Gruß,
Claus
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:20 Do 15.03.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nach Studium der shellmethode kannst du leicht erkennen, dass die nicht den eigentlichen Rotationskoerper ausrechnet, sondern den Koerper, den die Kurve aus dem umgebenden zylinder ausschneidet.
Wenn du dein 2. Ergebnis von dem Vollzylinder [mm] \pi*2^2*f(2)=40\pi [/mm] abziehst, findest du das erste ergebnis wieder.
In dem artikel ist das nicht sehr klar ausgedrueckt, aber wenn dus aufzeichnest leicht zu sehen.
Gruss leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Do 15.03.2007 | | Autor: | konalos |
Aha,
vielen, vielen Dank. Jetzt dämmert es mir wieder - ich hab die Methode vor längerer Zeit angewendet, da ist mir das doch glatt entfallen.
Vor allen Dingen, weil bei der einfacheren Übungsaufgabe, die ich selbst entworfen hatte (y = x² von x = 0 bis x = 2) es zufälligerweise auch so passte.
Also, nochmals vielen Dank für den Zeitaufwand.
Gruß,
Claus
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