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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Di 27.05.2008 | | Autor: | DaniTwal |
| Aufgabe | | Gegeben ist eine nicht konstante, stetige Funktion $f$. Rotiert $f$ im Intervall $I=[0;1]$ um die x-Achse, so beträgt das Volumen $V= [mm] \pi^{2}$. [/mm] Geben Sie zwei Möglichkeiten für $f$ an. |
Hallo allerseits!
Ich habe schon versucht, die Lösung allgemein herzuleiten, bin aber schon beim Versuch gescheitert für [mm] f(x)^{2} [/mm] eine Stammfunktion zu finden..
Wäre sehr dankbar, wenn jemand helfen könnte!
Danke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:56 Di 27.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Gegeben ist eine nicht konstante, stetige Funktion [mm]f[/mm].
> Rotiert [mm]f[/mm] im Intervall [mm]I=[0;1][/mm] um die x-Achse, so beträgt
> das Volumen [mm]V= \pi^{2}[/mm]. Geben Sie zwei Möglichkeiten für [mm]f[/mm]
> an.
> Hallo allerseits!
> Ich habe schon versucht, die Lösung allgemein herzuleiten,
> bin aber schon beim Versuch gescheitert für [mm]f(x)^{2}[/mm] eine
> Stammfunktion zu finden..
> Wäre sehr dankbar, wenn jemand helfen könnte!
> Danke
Hallo, nimm die irgendeine Funktion f(x), lasse deren Graphen um die x-Achse rotieren und berechne das Volumen. Das ist in der Regel zu groß oder zu klein. Das kannst du aber korrigieren, indem du die Funktion f(x) durch a*f(x) ersetzt. Den Faktor a musst du dann so wählen, dass das Volumen auf den gewünschen Wert verkleinert oder vergrößert wird (denke aber daran, dass a quadratisch in das Volumen eingeht).
Der einfachste Rotationskörper ist übrigens ein Zylinder. Er entsteht bei Rotation einer konstanten Funktion um die x-Achse. In unserem Fall wäre das die Funktion [mm] y=\wurzel{\pi}.
[/mm]
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:42 Di 27.05.2008 | | Autor: | DaniTwal |
Man soll keine konstante Funktion nehmen.
Zu deinem Lösungsansatz: Heißt es also ,dass man nur probieren kann?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:54 Di 27.05.2008 | | Autor: | abakus |
> Man soll keine konstante Funktion nehmen.
> Zu deinem Lösungsansatz: Heißt es also, dass man nur
> probieren kann?
Da es unendlich viele Funktionen gibt, die deine geforderte Bedingung erfüllen, kann es kein strenges Verfahren geben.
Wenn konstante Funktionen verboten sind, dann nimm lineare (ergibt Kegel oder Kegelstumpf)
Die Rotation von [mm] y=\wurzel{\pi}*x [/mm] liefert im Intervall [0;1] ein Volumen von [mm] \bruch{1}{3}\pi*\wurzel{\pi}^2= \bruch{\pi}{3}, [/mm] das muss also noch mit dem Fakor [mm] \wurzel{3} [/mm] korrigiert werden. Eine Lösung ist also [mm] y=\wurzel{3*\pi}*x
[/mm]
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