Rotationskörper y-Achse < Sonstiges < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:21 Di 07.06.2011 | | Autor: | PeterXX |
| Aufgabe | In einem Lehrbuch finde ich folgenden Satz:
Ist die Funktion f stetig und umkehrbar mit der Umkehrfunktion [mm] \bar f [/mm] , so entsteht bei der Rotation der Fläche zwischen dem Graphen von f, der y-Achse und den Geraden mit den Gleichungen y =c und y = d ein Rotationskörper mit dem Volumen V =pi[mm] \integral_{d}^{c}[/mm]( [mm] \bar f(y))^2 dy [/mm]. Und die Formel gibt tatsächlich das Volumen an, wenn die Ausgangsfunktion f um die y-Achse drehen würde/könnte.
Ich finde dies nicht in Ordnung.
1. Es wird eine Umkehrfunktion genannt, die Umkehrfunktion entsteht durch Spiegelung um y = x und ist eine Funktion von x, z.B. g(x).
2. Die Grenzen y=d und y=c werden durch die Spiegelung zu x= d und x = c.
3. und diese Umkehrfunktion rotiert tatsächlich um die x-Achse und nicht um die y-Achse.
Die Funktion müsste meiner Meinung wie folgt heißen:
V =pi[mm] \integral_{d}^{c}[/mm]( [mm] \bar f(x))^2 dx [/mm].
Wer kann mir helfen? |
Wer kann mir helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:42 Di 07.06.2011 | | Autor: | chrisno |
Namen sind Schall und Rauch. Wie die Integrationsvariable heißt, hat keinen Einfluss auf das Ergebnis. $V = [mm] \pi \integral_{d}^{c} [/mm] ( [mm] \bar f(y))^2 [/mm] dy = [mm] \pi \integral_{d}^{c} [/mm] ( [mm] \bar f(x))^2 [/mm] dx = [mm] \pi \integral_{d}^{c} [/mm] ( [mm] \bar f(\mu))^2 d\mu$.
[/mm]
Bei der Betrachtung zur Herleitung der Formel wird einfach auch das Koordiantensystem mit gespiegelt. Da wo vorher die x-Achse war, ist nun die y-Achse. Ich spare mir das ganze Spiegeln und schaue es mir direkt an der y-Achse an. Von der aus sieht man eben nicht die Funktion, sondern die Umkehrfunktion.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:17 Mi 08.06.2011 | | Autor: | PeterXX |
Eine überzeugende Antwort: Die Spiegelung des Koordinatensystems löst mein Problem. Der Name der Variablen ist nicht an den Buchstaben x gebunden, klar. Danke für die Klärung meines Problemes.
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