Rotationskörper um y-Achse < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:43 Di 08.07.2008 | | Autor: | Dnake |
| Aufgabe | | Lassen Sie die Kurve [mm] y=x^3 [/mm] im Intervall [0,a] um die y-Achse rotieren und berechnen Sie das Volumen |
Hallo,
ich habe folgendes gerechnet
Erst die Umkehrfunktion: [mm] x=\wurzel[3]{y}
[/mm]
Dann die Formel für die Rotation:
[mm] V_{y}=\pi*\integral_{0}^{a}{\wurzel[3]{y}dx}
[/mm]
Nebenrechnung: [mm] a^2 [/mm] mit s substituiert
den Ausdruck integriert
[mm] s^1/3 [/mm] = 3/4 [mm] s^4/3
[/mm]
das ganze wieder rücksubstituiert und eingesetzt (die untere Integrationsgrenze habe ich weggelassen,da die null wird)
[mm] V_{y}=3/4*(a^2)^{4/3}
[/mm]
= 3/4 a^(8/3)
Ist das so korrekt?
Danke schonmal!
Gruß
jan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Di 08.07.2008 | | Autor: | ron |
Hallo,
der Ansatz mit der Umformung ist i.O.
Erst die Umkehrfunktion: $ [mm] x=\wurzel[3]{y} [/mm] $
Dann die Formel für die Rotation:
$ [mm] V_{y}=\pi\cdot{}\integral_{0}^{a}{\wurzel[3]{y}dx} [/mm] $
Nebenrechnung: $ [mm] a^2 [/mm] $ mit s substituiert
Allerdings stimmt das Integral so wie es aufgeschrieben ist nicht, sondern es muss lauten:
[mm] V_y [/mm] = [mm] \pi \integral_{o}^{a}{(\wurzel[3]{y})^2 dy} [/mm]
Mittels Umschreibung nach Potenzgesetzen (war wohl mit der Substitution gemeint) bleibt als Integrant:
[mm] V_y [/mm] = [mm] \pi \integral_{0}^{a}{y^{\bruch{2}{3}} dy}
[/mm]
Dann Integral ausrechnen und Faktor [mm] \pi [/mm] NICHT vergessen!
Mein Ergebnis zum Vergleich: [mm] \bruch{3 \pi}{5} a^{\bruch{5}{3}
Gruss
Ron
}[/mm]
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