Rotationskörper (Oberfläche?) < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Gibt es eine (fürs Abitur relevante) Formel für die Berechnung des Mantels eines Rotationskörpers? |
Ein Schüler der 13. Klasse sagte, er hätte als Abiturvorbereitungsthema "Rotationskörper".
Die Formel für die Berechnung des Volumens habe ich gefunden:
[mm] V_{rot}=\pi*\integral_{a}^{b}{[f(x)]^{2} dx}
[/mm]
So weit, so gut.
Meine Frage ist: Gibt es so etwas auch hinsichtlich der Oberfläche oder genauer gesagt des Mantels eines Rotationskörpers?
Zum Beispiel:
Ein Kegel hat eine Höhe h von 4 cm und einen Radius r von 2 cm. Welche Fläche hat sein Mantel?
Die Mantellinie s wäre dann [mm] \wurzel{4^{2}+2^{2}}, [/mm] also [mm] s=\wurzel{20}
[/mm]
Demnach wäre der Mantel [mm] M=\pi2\wurzel{20} cm^{2}
[/mm]
Kann man auf dieses Ergebnis auch mit Hilfe der Integralrechnung kommen?
f(x) entspricht r , und x entspricht h , und die Funktion lautet
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}x
[/mm]
und die Grenzen des Integrals wären 0 und 4
aber bei [mm] 2\pi\integral_{0}^{4}{\bruch{1}{2}x dx} [/mm] kommt nur [mm] 8\pi [/mm] raus (und nicht [mm] \pi2\wurzel{20} [/mm] wie oben).
Somit kann man die Volumensformel nicht entsprechend für die Oberfläche anwenden (also statt [mm] \pi*r^{2} [/mm] einfach [mm] 2\pi*r [/mm] nehmen) ...
... oder ist die "Oberflächen-Berechnung eines Rotationskörpers" ohnehin nicht relevant (für's Abitur) ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:56 Do 24.01.2008 | | Autor: | zetamy |
Hallo,
in der Tat eine solche Formel gibt es:
[mm] M = 2\pi \integral_{a}^{b}{f(x)*\wurzel{1+[f'(x)]^2}dx} [/mm]
wobei M die Mantelfläche des Rotationskörpers.
Zu deiner zweiten Frage: Je nach Bundesland und Lehrer unterschiedlich. Volumen und Oberfläche sind so elementar, ich denke, man sollte die Formeln wissen.
Gruß zetamy
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:07 Do 24.01.2008 | | Autor: | rabilein1 |
Vielen vielen Dank.
Ich hatte die Formel bisher nirgends gefunden (jedenfalls nicht in Schulbüchern oder Formelsammlungen für Schüler).
Aber wie du schon sagtest: Die Abiturprüfungen sind von Schule zu Schule und von Bundesland zu Bundesland extrem unterschiedlich hinsichtlich des Schwierigkeitsgrades.
Deshalb will ich mich nicht darauf verlassen, dass so etwas nicht drankommen kann.
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