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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:08 So 06.11.2011 | | Autor: | Alessa |
| Aufgabe | | Bestimme das Rotationsvolumen. |
Als Funktionsgleichung für das erste Kreis habe ich y= [mm] \wurzel{1} -x^2+1 [/mm] und y= [mm] -\wurzel{1}-x^2+1 [/mm] aber
[mm] 10/3\pi [/mm] - [mm] 10/3\pi= [/mm] 0
mein Ergebnis für das Volumen ist, was unmöglich ist.
Es wäre nett, wenn jemand mir erklären konnte, wo mein Denkfehler ist!
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:29 So 06.11.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo Alessa,
> Bestimme das Rotationsvolumen.
>
> Als Funktionsgleichung für das erste Kreis habe ich y=
> [mm]\wurzel{1} -x^2+1[/mm] und y= [mm]-\wurzel{1}-x^2+1[/mm] aber
>
> [mm]10/3\pi[/mm] - [mm]10/3\pi=[/mm] 0
>
> mein Ergebnis für das Volumen ist, was unmöglich ist.
>
> Es wäre nett, wenn jemand mir erklären konnte, wo mein
> Denkfehler ist!
deine Funktionsgleichungen stimmen nicht. Für einen Kreis mit Mittelpunkt [mm](x_M, y_M)[/mm] und Radius [mm]r[/mm] gilt die Kreisgleichung [mm](x-x_M)^2+(y-y_M)^2=r^2[/mm].
Nach [mm]y[/mm] aufgelöst ergibt das [mm]y=y_M\pm\wurzel{r^2-(x-x_M)^2}[/mm].
Beim ersten Kreis (der untere) ist [mm](x_M,y_M)=(0,\ 1/2)[/mm] und [mm]r=1/2[/mm].
(Wenn du mit der Maus auf eine Formel gehst, siehst du den Code dafür)
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 So 06.11.2011 | | Autor: | Alessa |
Meine Zeichnung ist mir misslungen
die 1 sollte der Radius des Kreises sein.
Mein Proble ist das ich nicht weiß wie ich das Volumen rechnen soll, da ich auf null kommen und das wäre nicht möglich.
Vorallem wie soll ich das Volumen von beide Kreise rechnen?
Liebe grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 So 06.11.2011 | | Autor: | Fulla |
Hallo nochmal,
> Meine Zeichnung ist mir misslungen
> die 1 sollte der Radius des Kreises sein.
also soll es so aussehen?
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dann sind deine Funktionsgleichungen richtig, falls du es so meinst:
[mm]y_1=\sqrt{1-x^2}+1[/mm] und [mm]y_2=-\sqrt{1-x^2}+1[/mm]
> Mein Proble ist das ich nicht weiß wie ich das Volumen
> rechnen soll, da ich auf null kommen und das wäre nicht
> möglich.
> Vorallem wie soll ich das Volumen von beide Kreise
> rechnen?
>
> Liebe grüße
Wenn du deine Rechnungen hier nicht reinschreibst, muss ich raten, was du gemacht hast...
Mit der Formel für das Rotationsvolumen [mm]V=\pi*\int_a^b f(x)^2\ dx[/mm] berechnest du erst das Volumen für den oberen Halbkreis und ziehst dann das Volumen für den unteren Halbkreis ab:
[mm]V=V_1-V_2=\pi*\int_{-1}^1 y_1(x)^2\ dx -\pi*\int_{-1}^1 y_2(x)^2\ dx=\pi*\int_{-1}^1 y_1(x)^2-y_2(x)^2\ dx =4\pi*\int_{-1}^1 \sqrt{1-x^2}\ dx[/mm]
Für den zweiten Kreis machst du es genauso und addierst dann die Volumina.
Ich vermute mal, dass dein Problem darin liegt, das Integral [mm]\int_{-1}^1\sqrt{1-x^2}\ dx[/mm] zu berechnen. Das machst du am besten mit der Substitution [mm]x=\sin(t)[/mm] siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Jetzt rechne mal vor, wie weit du kommst!
Lieben Gruß,
Fulla
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 So 06.11.2011 | | Autor: | Alessa |
wäre das in dem Fall so
[mm] \integral_{-1}^{1}{\wurzel{1}-x^2+1} [/mm] dx = [mm] \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\wurzel{1}-sin^2(t) cos(t)+1 dt} [/mm] = [mm] \integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\wurzel{1}-cos(t)^2+1 dt}
[/mm]
Wenn das nicht der Fall ist, komme ich mit die Rechnung ganz schon durcheinander.
und noch eine Frage wie kommst du auf die [mm] 4\pi?
[/mm]
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> wäre das in dem Fall so
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> [mm]\integral_{-1}^{1}{\wurzel{1}-x^2+1}[/mm] dx =
> [mm]\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\wurzel{1}-sin^2(t) cos(t)+1 dt}[/mm]
> = [mm]\integral_{-\pi/2}^{\pi/2}{\wurzel{1}-cos(t)^2+1 dt}[/mm]
>
> Wenn das nicht der Fall ist, komme ich mit die Rechnung
> ganz schon durcheinander.
>
> und noch eine Frage wie kommst du auf die [mm]4\pi?[/mm]
Hallo Alessa,
du sprichst von einem Rotationskörper, aber du hast noch
nicht angegeben, wie dieser Körper denn genau entstehen
soll. Welches ist die Rotationsachse ?
Ist nun die zu rotierende Figur wirklich die Vereinigung der
zwei Kreisscheiben, welche Fulla zeichnerisch angegeben
hat ?
Bei den Wurzeln musst du alles was darunter gehört, jeweils
zwischen geschweifte Klammern setzen. Insgesamt würdest
du auf die geplante Weise (und falls um die x-Achse gedreht
werden soll) einen Ausdruck mit vier Integralen bekommen
(je zwei mit Pluszeichen und mit Minuszeichen davor):
[mm] $\pi*\left(\integral_{-1}^1\left(3+\sqrt{1-x^2}\,\right)^{2}\,dx\ -\ \integral_{-1}^1\left(3-\sqrt{1-x^2}\,\right)^{2}\,dx\ +\ \integral_{-1}^1....\,dx\ -\ \integral_{-1}^1....\,dx\right)$
[/mm]
Einfach würde die Volumenberechnung, wenn du den Satz
von Guldin kennen würdest.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:09 So 06.11.2011 | | Autor: | Fulla |
Ich habe oben die Quadrate bei [mm]y_1(x)^2[/mm] und [mm]y_2(x)^2[/mm] vergessen... Habs jetzt ausgebessert.
Zu dem [mm]4\pi[/mm]: das [mm]\pi[/mm] steht schon die ganze Zeit vor dem Integral, das gehört zur Formel. Und die 4 kommt von
[mm](1+\sqrt{1-x^2})^2-(1-\sqrt{1-x^2})^2=\ldots =4\sqrt{1-x^2}[/mm].
Lieben Gruß,
Fulla
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