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| Aufgabe | 1) Lässt man die Randkurve [mm] y(x)=2*\wurzel{1-(\bruch{x}{3})^{2}}, [/mm] -3 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 3 der Ellipse [mm] (\bruch{y}{2})^{2}+(\bruch{x}{3})^{2} \le [/mm] 1 um die x-Achse rotieren, so entsteht ein Ellipsoid.
a) Berechnen Sie das Volumen V des Rotationskörpers K, der von diesem Ellipsoid und den zur x-Achse senkrechten Ebenen durch x=a=-2 und x=a+H=+2 begrenzt wird (H=4). Wie groß ist die Querschnittsfläche des Körpers K an einer Stelle x zwischen a=-2 und a+H=+2 ?
b) Kepler hat das Volumen von K nach der sogenannten "Keplerschen Fassregel" als
[mm] V=\bruch{H}{6}*(S(a)+4S(a+H/2)+S(a+H)) [/mm] (hier: a=-2 und H=4)
berechnet. Berechnen Sie explizit diesen Wert. Warum liefert er den genauen Wert V des Volumens von K? |
Hallo,
mit dieser Aufgabe habe ich ein paar Probleme.
Also, ich berechne zuerst das Rotationsvolumen:
[mm] V:=\integral_{-2}^{2}{\pi*(2*\wurzel{1-(\bruch{x}{3})^{2}})^{2} dx}
[/mm]
Ist das so richtig, wenn ich die Funktion der Randkurve nehme, um das Rotationsvolumen zu berechnen?
Dann also das Integral berechnen:
[mm] \pi*4*\integral_{-2}^{2}{1-(\bruch{x^{2}}{9}) dx}
[/mm]
So, mein nächstes Problem ist, jetzt hier das Integral auszurechnen.. also, kann ich die [mm] \bruch{1}{9} [/mm] vielleicht noch irgendwie nach vorne ziehen? Aber dann habe ich da trotzdem immernoch die 1, die im Weg ist. Sehe ich da nur irgendwas nicht, oder kann man das wirklich nicht so lösen?
Die Querschnittsfläche an einer Stelle x kann man dann berechnen mit:
[mm] A_{x}=\pi*r^{2} [/mm] und dann [mm] A_{x}=\pi*(2*\wurzel{1-(\bruch{x}{3})^{2}})^{2} [/mm]
Oder ist das falsch, hier für die Querschnittsfläche auch die Ausgangsformel für die Randkurve einzusetzen? Da bin ich mir echt nicht so sicher... vielleicht kann mir da noch mal jemand einen Hinweis geben.
zu b)
Hier kann man doch dann einfach bei der oben berechneten Formel für den Querschnitt dann jeweils x=-2, x=2 und x=0 einsetzen, um Deckfläche, mittlere Querschnittsfläche und Grundfläche für die Kepler-Formel herauszubekommen, oder?
Und warum das genau das Volumen von K ist, was da herauskommt, das weiß ich leider nicht... wieso bloß? Kann mir da jemand einen Tipp geben???
Viele Grüße,
Anna
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Hallo Anna!
> Also, ich berechne zuerst das Rotationsvolumen:
>
> [mm]V:=\integral_{-2}^{2}{\pi*(2*\wurzel{1-(\bruch{x}{3})^{2}})^{2} dx}[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Ist das so richtig, wenn ich die Funktion der Randkurve
> nehme, um das Rotationsvolumen zu berechnen?
> Dann also das Integral berechnen:
>
> [mm]\pi*4*\integral_{-2}^{2}{1-(\bruch{x^{2}}{9}) dx}[/mm]
>
> So, mein nächstes Problem ist, jetzt hier das Integral
> auszurechnen.. also, kann ich die [mm]\bruch{1}{9}[/mm] vielleicht
> noch irgendwie nach vorne ziehen? Aber dann habe ich da
> trotzdem immernoch die 1, die im Weg ist. Sehe ich da nur
> irgendwas nicht, oder kann man das wirklich nicht so lösen?
Gemäß  Summenregel kannst Du hier termweise intergrieren:
[mm] $$\integral{1-\bruch{1}{9}*x^2 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] \integral{1 \ dx}-\bruch{1}{9}*\integral{x^2 \ dx} [/mm] \ = \ ...$$
> Die Querschnittsfläche an einer Stelle x kann man dann
> berechnen mit:
>
> [mm]A_{x}=\pi*r^{2}[/mm] und dann
> [mm]A_{x}=\pi*(2*\wurzel{1-(\bruch{x}{3})^{2}})^{2}[/mm]
> Oder ist das falsch, hier für die Querschnittsfläche auch
> die Ausgangsformel für die Randkurve einzusetzen?
Nein, das stimmt so ...
Gruß vom
Roadrunner
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Hallo crazyhuts1,
> 1) Lässt man die Randkurve
> [mm]y(x)=2*\wurzel{1-(\bruch{x}{3})^{2}},[/mm] -3 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3 der
> Ellipse [mm](\bruch{y}{2})^{2}+(\bruch{x}{3})^{2} \le[/mm] 1 um
> die x-Achse rotieren, so entsteht ein Ellipsoid.
>
> a) Berechnen Sie das Volumen V des Rotationskörpers K, der
> von diesem Ellipsoid und den zur x-Achse senkrechten Ebenen
> durch x=a=-2 und x=a+H=+2 begrenzt wird (H=4). Wie groß ist
> die Querschnittsfläche des Körpers K an einer Stelle x
> zwischen a=-2 und a+H=+2 ?
>
> b) Kepler hat das Volumen von K nach der sogenannten
> "Keplerschen Fassregel" als
> [mm]V=\bruch{H}{6}*(S(a)+4S(a+H/2)+S(a+H))[/mm] (hier: a=-2
> und H=4)
> berechnet. Berechnen Sie explizit diesen Wert. Warum
> liefert er den genauen Wert V des Volumens von K?
> Hallo,
>
> zu b)
> Hier kann man doch dann einfach bei der oben berechneten
> Formel für den Querschnitt dann jeweils x=-2, x=2 und x=0
> einsetzen, um Deckfläche, mittlere Querschnittsfläche und
> Grundfläche für die Kepler-Formel herauszubekommen, oder?
> Und warum das genau das Volumen von K ist, was da
> herauskommt, das weiß ich leider nicht... wieso bloß? Kann
> mir da jemand einen Tipp geben???
Siehe dazu ![[]](/images/popup.gif) Keplersche Fassregel
>
> Viele Grüße,
> Anna
Gruß
MathePower
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Hallo,
danke für den Link, warum die Keplersche Fassregel gilt... aber irgendwie wird da ja nur gezeigt, warum sie für Flächen gilt... wieso gilt die dann auch für das Volumen von Rotationskörper???
Viele Grüße,
Anna
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Hallo crazyhuts1,
> Hallo,
> danke für den Link, warum die Keplersche Fassregel gilt...
> aber irgendwie wird da ja nur gezeigt, warum sie für
> Flächen gilt... wieso gilt die dann auch für das Volumen
> von Rotationskörper???
Die Keplersche Faßregel gilt insbesonde auch für Rotationskörper,
da sie eine Näherungsmethode zur Berechnung von Integralen darstellt.
> Viele Grüße,
> Anna
Gruß
MathePower
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> Die Keplersche Faßregel gilt insbesonde auch für
> Rotationskörper,
> da sie eine Näherungsmethode zur Berechnung von Integralen
> darstellt.
hallo MathePower,
es ging hier nicht um Näherungsmethoden, sondern um
die Frage, warum die Fassregel bei gewissen Rotations-
körpern das exakte Volumen liefert.
Gerade weil dies für Rotationskörper mit Kegelschnitten
(in einfachster Lage) als Erzeugende zutrifft, eignet sich
die Fassregel auch als Grundlage für Näherungsmethoden
bei anderen Rotationskörpern, deren Randkurven sich
durch Kegelschnitte nur annähern lassen.
LG al-Chwarizmi
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> Hallo,
> danke für den Link, warum die Keplersche Fassregel gilt...
> aber irgendwie wird da ja nur gezeigt, warum sie für
> Flächen gilt... wieso gilt die dann auch für das Volumen
> von Rotationskörper???
> Viele Grüße,
> Anna
Hallo Anna,
das Wichtigste findest du im Wiki-Artikel zur Fassregel
quasi im Kleingeschriebenen:
Ist f ein Polynom höchstens dritten Grades, so ist die
Fläche sogar gleich A.
Man kann also die Fassregel immer dann für Integrationen
anwenden, wenn man es mit einem Integral zu tun hat,
bei dem der Integrand eine auf dem Integrationsintervall
[a,b] definierte Polynomfunktion mit Grad [mm] \le [/mm] 3 ist. Im
vorliegenden Fall hat der Integrand nur den Grad 2. Dies
ist bei allen Rotationskörpern der Fall, deren Randkurve
ein Kegelschnitt (Kreis, Ellipse, Parabel, Hyperbel) in
Hauptachsenlage ist.
Es geht natürlich nicht einfach bei allen Rotations-
körpern !
LG Al-Chw.
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