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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mo 12.12.2005 | | Autor: | thary |
hallo,
gegeben sind die funktionen
[mm] $t\left(x\right) [/mm] = 0.25x + 2.5$
[mm] $f\left(x\right) [/mm] = [mm] \sqrt{2x+4}$
[/mm]
die fläche, die von der geraden,der 'parabel' und der x-achse eingeschlossen wird rotiert um die x-achse.
dann wird sie zentrisch durchbohrt (x-achse=bohrachse).
nun soll ich den restlichen flächeninhalt berechnen. der bohrradius is beliebig.
danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:59 Mo 12.12.2005 | | Autor: | dominik |
Hallo thari
Hier ein erster Vorschlag:
1. Die Gerade t trifft die x-Achse bei -10:
$t(x)=0 [mm] \gdw [/mm] 0.25x=-2.5 [mm] \gdw [/mm] x=-10$ (mit 4 erweitern).
2. Die Gerade und die Parabel berühren sich im Punkt (6/4):
[mm] $0.25x+2.5=\wurzel{2x+4} \gdw x+10=4*\wurzel{2x+4} \gdw x^2+20x+100=16*(2x+4)=32x+64 \gdw x^2-12x+36=0 \gdw (x-6)^2=0 \Rightarrow [/mm] x=6$ (Doppellösung: berühren) [mm] \Rightarrow [/mm] y=4
3. Die Parabel ist nach rechts geöffnet und hat ihren Scheitel bei (-2/0): Radikand positiv:
$2x+4 [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \gdw [/mm] x [mm] \ge [/mm] -2$
[Dateianhang nicht öffentlich]
4. Jetzt bestimmst du das Rotationsvolumen:
4.1. Der äussere Körper ist ein (liegender) Kegel mit dem Rauminhalt:
[mm] $V_{Kegel}=\bruch{1}{3}*r^2*\pi*h=\bruch{1}{3}*4^2*\pi*16=\bruch{256}{3}\pi$
[/mm]
4.2. Der innere Körper wird mit dem Integral bestimmt:
[mm] $V_i=\pi*\integral_{-2}^{6} {(f(x))^2)dx}=\pi*\integral_{-2}^{6} [/mm] {(2x+4) dx}$
Die Differenz der beiden gibt: [mm] $\bruch{64}{3}\pi$
[/mm]
Das ist der Rauminhalt des ganzen Drehkörpers.
5.
> dann wird sie zentrisch durchbohrt (x-achse=bohrachse).
> nun soll ich den restlichen flächeninhalt berechnen. der bohrradius is beliebig.
Ich nehme an, du musst das restliche Volumen bestimmen:
Die Bohrung ergibt einen Zylinder der Höhe 8 (von -10 bis -2) und dem Radius r:
[mm] $V_{Zylinder}=r^2*\pi*h=r^2*\pi*8=8r^2*\pi$
[/mm]
Dieses Volumen wird vom obigen Volumen weggezählt, hängt natürlich von der Grösse r ab!
Viele Grüsse
dominik
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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