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| Aufgabe | Durch Rotation der Flächen um die x-achse entstehen Ringe. Bestimme jeweils das volumen des Ringes durch Integration
a) g(x)=x-1 ; y=2,5; Intervall=[2;3,5]
b) p(x)=2-(x-9)² ; y= 0,5 ; Intervall=[7,75;10,25] |
Hallo
Wir haben im Buch Flächen abgebildet in einem Koordinatensystem, die wie in a) und b) erklärt aussehen und um die x-achse rotieren.
Habe für a) ein Volumen von ca. 3,53 VE berechnet und für b) ca. 9,23 VE...
Aber meine berechneten Ergebnisse unterscheiden sich von den Ergebnissen, die wir bekommen haben. für a) war uns vorgegeben [mm] \bruch{9}{2}\pi\approx [/mm] 14.14 VE, für b) [mm] \bruch{11}{5}\wurzel{6}\pi\approx [/mm] 16,93 VE.
Meine Ansätze lauten so:
a) Differenzfunktion: x-3,5, die ich dann mit Hilfe der binomischen Formel quadriere wegen der Formel zur Berechnung von Rotationskörpern
Stammfkt. : [mm] \bruch{1}{3} x³-\bruch{7}{2}x²+12,25x [/mm] im Intervall von 2 bis 3,5.
Dann komme ich an eine Stelle mit
[mm] \bruch{343}{24}-\bruch{8}{3}+14-24,5 [/mm] = [mm] \bruch{9}{8}\pi
[/mm]
b) Differenzfkt.: x²-18x+79,5
Stammfkt.: [mm] \bruch{1}{5} x^5-9x^4+161x³-1431x²+6320,25x
[/mm]
Dann kriege ich:
[mm] (11102,51973-11099,58027)\pi
[/mm]
Es schaut bisschen falsch aus oder nicht?
Wäre über Anregungen dankbar !
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:20 Mi 30.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Durch Rotation der Flächen um die x-achse entstehen Ringe.
> Bestimme jeweils das volumen des Ringes durch Integration
>
> a) g(x)=x-1 ; y=2,5; Intervall=[2;3,5]
> b) p(x)=2-(x-9)² ; y= 0,5 ; Intervall=[7,75;10,25]
> Hallo
>
> Wir haben im Buch Flächen abgebildet in einem
> Koordinatensystem, die wie in a) und b) erklärt aussehen
> und um die x-achse rotieren.
>
> Habe für a) ein Volumen von ca. 3,53 VE berechnet und für
> b) ca. 9,23 VE...
> Aber meine berechneten Ergebnisse unterscheiden sich von
> den Ergebnissen, die wir bekommen haben. für a) war uns
> vorgegeben [mm]\bruch{9}{2}\pi\approx[/mm] 14.14 VE, für b)
> [mm]\bruch{11}{5}\wurzel{6}\pi\approx[/mm] 16,93 VE.
>
> Meine Ansätze lauten so:
> a) Differenzfunktion: x-3,5, {3} [mm] x³-\bruch{7}{2}x²+12,25x[/mm] [/mm] im
> Intervall von 2 bis 3,5.
Das ist falsch. Das wäre ja ein Kegel. Dein Volumen ist aber ein Kegel, aus dem ein Zylinder mit Radius 2,5 herausgeschnitten wurde.
Du musst erst integrieren und dann die Differenz bilden, also
[mm] \pi \integral_2^{7/2} (x-1)^2 dx - \pi \integral_2^{7/2} (5/2)^2 dx [/mm]
> b) Differenzfkt.: x²-18x+79,5
Gleicher Fehler; außerdem hast du überhaupt nicht berücksichtigt, dass die Funktion $p(x)$ die Gerade $y=0,5$ im Intervall zweimal schneidet. Bestimme also zunächst die Schnittpunkte und überlege dir, wie du die drei Teile des Intervalls behandelst!
Viele Grüße
Rainer
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Hallo ...
Zu a)
Ich verstehe nicht, wie du darauf kommst, dass ich eine kegelform berechnet habe...Ich kann es mir räumlich nicht vorstellen wie ich es rechnerisch gemacht haben soll. Habe ich durch meine Differnzfunktion die Fläche des Dreiecks dann um sich selbst rotieren lassen oder wie?
Ich habe ja vorher die Differenzfunktion gebildet und diese rotiert ja dann um die x-Achse, wodurch dann auch bei mir ein "Ring" entstehen müsste mit dem "rausgeschnittenen Zylinder" ?...Achja und wie kommst du daraif, dass der Zylinder einen radius von 2,5 hat?
Mein Problem liegt glaub ich darin, dass ich es woher hätte wissen können, dass ich erst nach dem Integrieren die Differenz bilden muss?woher weiß man so etwas?
Zu b)
Ja stimmt ich rechne gleich nochmal die Schnittstellen aus.
Danke
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:00 Mi 30.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo ...
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> Zu a)
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> Ich verstehe nicht, wie du darauf kommst, dass ich eine
> kegelform berechnet habe...Ich kann es mir räumlich nicht
> vorstellen wie ich es rechnerisch gemacht haben soll. Habe
> ich durch meine Differnzfunktion die Fläche des Dreiecks
> dann um sich selbst rotieren lassen oder wie?
> Ich habe ja vorher die Differenzfunktion gebildet und
> diese rotiert ja dann um die x-Achse, wodurch dann auch bei
> mir ein "Ring" entstehen müsste mit dem "rausgeschnittenen
> Zylinder" ?...Achja und wie kommst du daraif, dass der
> Zylinder einen radius von 2,5 hat?
Zeichne dir die Kurve und die Schnittlinie $y=2,5$ in der xy-Ebene auf, dann siehst du, welche Form beim Rotieren entsteht.
> Mein Problem liegt glaub ich darin, dass ich es woher
> hätte wissen können, dass ich erst nach dem Integrieren
> die Differenz bilden muss?woher weiß man so etwas?
Weil die Schnittlinie $y=2,5$ auch rotiert wird. Durch Abziehen vorher berechnest du keinen Ring, denn du integrierst über eine Fläche, die bis zur x-Achse reicht. Siehst du auch sofort, wenn du es aufzeichnest.
Viele Grüße
Rainer
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Hmm...
Ich habe es ja gezeichnet vorliegen; sogar versucht zu basteln: Es ist ein Dreieck, welches rotiert.
Ich verstehe nun auch, wieso man nicht vorher die Differenzfunktion bilden darf, aber dass der "rausgeschnittene Zylinder" einen radius von 2,5 haben muss, verstehe ich nicht so recht. Es ist ja so, dass das Dreieck im Koordinatensystem die Punkte A (2/1), B (3,5/2,5) und C (2/2,5) als Ecken hat. Wenn wir das jetzt rotieren lassen um die x-Achse, wieso ist es nicht so, dass der Zylinder einen Radius von 1 cm hat?Denn der tiefste y-wert vom Eckpunkt A ist doch 1...Oder denke ich da voll falsch?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 Mi 30.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hmm...
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> Ich habe es ja gezeichnet vorliegen; sogar versucht zu
> basteln: Es ist ein Dreieck, welches rotiert.
> Ich verstehe nun auch, wieso man nicht vorher die
> Differenzfunktion bilden darf, aber dass der
> "rausgeschnittene Zylinder" einen radius von 2,5 haben
> muss, verstehe ich nicht so recht. Es ist ja so, dass das
> Dreieck im Koordinatensystem die Punkte A (2/1), B
> (3,5/2,5) und C (2/2,5) als Ecken hat.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Wenn wir das jetzt
> rotieren lassen um die x-Achse, wieso ist es nicht so, dass
> der Zylinder einen Radius von 1 cm hat?Denn der tiefste
> y-wert vom Eckpunkt A ist doch 1...Oder denke ich da voll
> falsch?
Aber es gibt keinen zweiten Eckpunkt mit y-Wert 1. Die Parallel zur x-Achse liegt bei y=2,5.
Meine erste Antwort war nicht ganz richtig: es ist ein Zylinder mit Radius 2,5, aus dem ein Kegelstumpf herausgeschnitten wird, nicht umgekehrt. Der Zylinder entsteht aus dem Rechteck mit den Eckpunkten (2/0), (2/2,5), (3,5/2,5) und (0/2,5); der Kegelstumpf aus dem Trapez, das übrigbleibt, wenn du dein Dreieck aus diesem Rechteck herausnimmst.
Viele Grüße
Rainer
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Hallo wieder :)
Achsoooo ! Ok, jetzt hab ich es so einigermaßen verstanden (glaube ich)
Ist ja nicht schlimm, dass die erste antwort nicht so richtig war, hat mich nur zum Grübeln gebracht, weil es irgendwie nicht gepasst hat, dass man "durchgehend" einen Zylinder mit dem Radius von 2,5 nicht "raussschneiden" konnte...
Danke für die große Hilfe :)
PS: "Der Zylinder entsteht aus dem Rechteck mit den Eckpunkten (2/0), (2/2,5), (3,5/2,5) und (0/2,5)" ... könnte der letzte Eckpunkt vielleicht falsch sein?So wie ich es verstanden habe müsste der doch (3,5/0) sein oder?oder ich habe es doch nicht verstanden wie ich glaube :D
Gruß
Powerranger
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Do 31.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo wieder :)
> Achsoooo ! Ok, jetzt hab ich es so einigermaßen
> verstanden (glaube ich)
> Ist ja nicht schlimm, dass die erste antwort nicht so
> richtig war, hat mich nur zum Grübeln gebracht, weil es
> irgendwie nicht gepasst hat, dass man "durchgehend" einen
> Zylinder mit dem Radius von 2,5 nicht "raussschneiden"
> konnte...
>
> Danke für die große Hilfe :)
>
> PS: "Der Zylinder entsteht aus dem Rechteck mit den
> Eckpunkten (2/0), (2/2,5), (3,5/2,5) und (0/2,5)" ...
> könnte der letzte Eckpunkt vielleicht falsch sein?So wie
> ich es verstanden habe müsste der doch (3,5/0) sein
> oder?oder ich habe es doch nicht verstanden wie ich glaube
> :D
Hast recht, sonst wäre es ja kein Rechteck. Das kommt davon, wenn man kopiert und die falsche Zahl ersetzt.
Guten Rutsch
Rainer
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