Rotation des Gradienten < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] G\subset \IR^3 [/mm] ein Gebiet. Die Funktionen f,g: [mm] G\to \IR^3, \varphi: G\to \IR [/mm] seien hinreichend Glatt. Beweisen Sie:
[mm] rot\Delta\varphi=0 [/mm] |
Hallo,
hier steht doch die hintereinander Ausführung des Nabla Operators [mm] \Delta=(\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\frac{\partial}{\partial x_3}) [/mm] und anschließend der Rotation davon.
Wendet man also zunächst [mm] \Delta [/mm] auf [mm] \varphi [/mm] an, erhält man:
[mm] \Delta\varphi=(\frac{\partial\varphi}{\partial x_1},\frac{\partial\varphi}{\partial x_2},\frac{\partial\varphi}{\partial x_3}),
[/mm]
d.h. einen Vektor mit diesen 3 Komponenten. Nun berechnet man davon die Rotation und erhält:
[mm] \pmat{ \frac{\varphi}{\partial x_1\partial x_3} &- \frac{\partial\varphi}{\partial x_3\partial x_2} \\ \frac{\partial\varphi}{\partial x_3\x_1} & -\frac{\partial\varphi}{\partial x_1\partial x_3} \\ \frac{\partial\varphi}{\partial x_1\partial x_2} & - \frac{\partial\varphi}{\partial x_2\partial x_1} }
[/mm]
und jetzt kann ich doch mit dem Satz von Schwarz argumentieren, der besagt:
[mm] \frac{\partial}{\partial x_i}frac{\partial}{\partial x_j}f(x_0)=\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_i}f(x_0),
[/mm]
also ist jeder Zeilenausdruck null [mm] \Rightarrow rot\Delta\varphi=0
[/mm]
Stimmt der Beweis so?
Gruß
|
|
| |
|
Hall Theoretix,
> Sei [mm]G\subset \IR^3[/mm] ein Gebiet. Die Funktionen f,g: [mm]G\to \IR^3, \varphi: G\to \IR[/mm]
> seien hinreichend Glatt. Beweisen Sie:
>
> [mm]rot\Delta\varphi=0[/mm]
> Hallo,
>
> hier steht doch die hintereinander Ausführung des Nabla
> Operators [mm]\Delta=(\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\frac{\partial}{\partial x_3})[/mm]
> und anschließend der Rotation davon.
>
> Wendet man also zunächst [mm]\Delta[/mm] auf [mm]\varphi[/mm] an, erhält
> man:
>
> [mm]\Delta\varphi=(\frac{\partial\varphi}{\partial x_1},\frac{\partial\varphi}{\partial x_2},\frac{\partial\varphi}{\partial x_3}),[/mm]
>
> d.h. einen Vektor mit diesen 3 Komponenten. Nun berechnet
> man davon die Rotation und erhält:
>
> [mm]\pmat{ \frac{\varphi}{\partial x_1\partial x_3} &- \frac{\partial\varphi}{\partial x_3\partial x_2} \\ \frac{\partial\varphi}{\partial x_3\x_1} & -\frac{\partial\varphi}{\partial x_1\partial x_3} \\ \frac{\partial\varphi}{\partial x_1\partial x_2} & - \frac{\partial\varphi}{\partial x_2\partial x_1} }[/mm]
Das ist wohl so gemeint:
[mm]\pmat{ \frac{\blue{\partial} \varphi}{\partial x_1\partial x_3} &- \frac{\partial\varphi}{\partial x_3\partial x_2} \\ \frac{\partial\varphi}{\partial x_3\blue{\partial} x_1} & -\frac{\partial\varphi}{\partial x_1\partial x_3} \\ \frac{\partial\varphi}{\partial x_1\partial x_2} & - \frac{\partial\varphi}{\partial x_2\partial x_1} }[/mm]
>
> und jetzt kann ich doch mit dem Satz von Schwarz
> argumentieren, der besagt:
>
> [mm]\frac{\partial}{\partial x_i}frac{\partial}{\partial x_j}f(x_0)=\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_i}f(x_0),[/mm]
[mm]\frac{\partial}{\partial x_i}\frac{\partial}{\partial x_j}f(x_0)=\frac{\partial}{\partial x_j}\frac{\partial}{\partial x_i}f(x_0),[/mm]
>
> also ist jeder Zeilenausdruck null [mm]\Rightarrow rot\Delta\varphi=0[/mm]
>
> Stimmt der Beweis so?
Ja.
>
> Gruß
Gruss
MathePower
|
|
|
|
