Rotation: 45° im Uhrzeigersinn < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten [mm] P_{1}=(2;1), P_{2}=(4;3), P_{3}=(0;2). [/mm] Das Dreieck soll um den Winkel [mm] \alpha=45° [/mm] im Uhrzeigersinn gedreht werden.
a) Verwenden Sie homogene Koordinaten und ermitteln Sie die Abbildungsmatrix!
b) Wie lauten die Eckpunkte des Dreiecks nach der Ausführung der Abbildung? |
Hab Probleme mit der Teilaufgabe a).
Die Rotationsmatrix lautet ja [mm] \pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) }. [/mm] Da wir in unserem Falle aber homogene Koordinaten verwenden sollen, dachte ich, dass die Matrix folgendermaßen aussieht: [mm] \pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 0 \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Stimmt aber nicht, denn die Antwort lautet [mm] \pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & -\wurzel{2} \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 2-\wurzel{2} \\ 0 & 0 & 1 }
[/mm]
Warum? Wo kommen die [mm] -\wurzel{2} [/mm] und [mm] 2-\wurzel{2} [/mm] her?
b) ist einfach. Da muss man einfach die Matrix mit den Vektoren multiplizieren.
Hab diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:03 So 07.01.2007 | | Autor: | Bastiane |
Hallo progmaker!
> Gegeben sei das Dreieck mit den Eckpunkten [mm]P_{1}=(2;1), P_{2}=(4;3), P_{3}=(0;2).[/mm]
> Das Dreieck soll um den Winkel [mm]\alpha=45°[/mm] im Uhrzeigersinn
> gedreht werden.
>
> a) Verwenden Sie homogene Koordinaten und ermitteln Sie die
> Abbildungsmatrix!
> b) Wie lauten die Eckpunkte des Dreiecks nach der
> Ausführung der Abbildung?
> Hab Probleme mit der Teilaufgabe a).
>
> Die Rotationsmatrix lautet ja [mm]\pmat{ cos(\alpha) & -sin(\alpha) \\ sin(\alpha) & cos(\alpha) }.[/mm]
> Da wir in unserem Falle aber homogene Koordinaten verwenden
> sollen, dachte ich, dass die Matrix folgendermaßen
> aussieht: [mm]\pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 0 \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Stimmt aber nicht, denn die Antwort lautet [mm]\pmat{ \bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & -\wurzel{2} \\ -\bruch{\wurzel{2}}{2} & \bruch{\wurzel{2}}{2} & 2-\wurzel{2} \\ 0 & 0 & 1 }[/mm]
>
> Warum? Wo kommen die [mm]-\wurzel{2}[/mm] und [mm]2-\wurzel{2}[/mm] her?
Leider kann ich dir nicht helfen, aber da mich die Aufgabe interessiert, schreibe ich mal: was sind denn homogene Koordinaten? Und wieso ist die Matrix dreidimensional, die Punkte sind doch alle in 2D?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo,
wenn das tatsächlich die Musterlösung darstellt, dann wurde aber etwas in der Aufgabenstellung unterschlagen:
Deine Lösung ist intuitiv richtig, weil du das Dreieck um den Ursprung des Koordinatensystems drehst. Die von dir angegebene "richtige" Matrix bewirkt eine Drehung um den Punkt [mm] $P_3$, [/mm] warum auch immer... Somit kommt hier noch eine Verschiebung ins Spiel, in homogenen Koordinaten ist die letzte Spalte also nicht Null.
Gruß
Martin
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:33 Mo 08.01.2007 | | Autor: | progmaker |
Sowas habe ich mir auch schon gedacht. Ich werd mal versuchen, es rauszufinden.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:43 Di 09.01.2007 | | Autor: | progmaker |
Es soll um [mm] P_{3} [/mm] gedreht werden. Ich hab's überlesen...
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:55 Di 09.01.2007 | | Autor: | Martin243 |
![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Gruß
Martin
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![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Guckst du!
