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Forum "Integralrechnung" - Rotation
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Rotation: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:50 So 01.03.2009
Autor: die-nini

Aufgabe
Die Fläche zwischen den Graphen der Funktion f und der 1. Achse werde um die 1. Achse gedreht. Zeichne die zu drehende Fläche und berechne das Volumen des entstehenden Rotationskörpers.
a) f(x)=x²-4

Ok, gezeichnet hab ich sie. Normaparabel nach oben geöffnet um 4 y-Werte nach unten verschoben.

Und die Formel für das Volumen lautet [mm] v=\pi\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[f(x)]²dx [/mm]

Was mich nun irritiert ist, dass keine Integrale gegebn sind. Kann ich dann die x-Schnittpunkte als Integrale verwenden? Oder wie komm ich auf die???

Und nochmal zur Kontroll.. Die Stammfunktion von f(x) lautet F(x)=1/3x³-4x?

Danke schon mal im vorraus ;)
        
Bezug
Rotation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:58 So 01.03.2009
Autor: glie

Hallo,


> Die Fläche zwischen den Graphen der Funktion f und der 1.
> Achse werde um die 1. Achse gedreht. Zeichne die zu
> drehende Fläche und berechne das Volumen des entstehenden
> Rotationskörpers.
>  a) f(x)=x²-4
>  Ok, gezeichnet hab ich sie. Normaparabel nach oben
> geöffnet um 4 y-Werte nach unten verschoben.       [ok]
>
> Und die Formel für das Volumen lautet
> [mm]v=\pi\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[f(x)]²dx[/mm]     [notok]


Die Formel lautet: [mm] V=\pi*\integral_{a}^{b}[f(x)]^2dx [/mm]

>  
> Was mich nun irritiert ist, dass keine Integrale gegebn
> sind. Kann ich dann die x-Schnittpunkte als Integrale
> verwenden? Oder wie komm ich auf die???

Du meinst wohl, dass es dich irritiert, dass du keine Grenzen gegeben hast.
Auf die solltest du aber leicht kommen, wenn du dir klar machst, welche Fläche da eigentlich rotiert.
Das ist die unterhalb der x-Achse liegende Fläche....also was sind dann deine Integrationsgrenzen a und b??

>  
> Und nochmal zur Kontroll.. Die Stammfunktion von f(x)
> lautet F(x)=1/3x³-4x?  

Das stimmt schon, ABER....
Du musst hier nicht f(x) integrieren, sondern [mm] [f(x)]^2 [/mm]
Berechne also erstmal [mm] [f(x)]^2 [/mm] und bestimme dazu dann eine Stammfunktion...was bekommst du heraus?

>  
> Danke schon mal im vorraus ;)

Gruß Glie

Bezug
                
Bezug
Rotation: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:05 Mo 02.03.2009
Autor: die-nini

Also... nochmal zu den Grenzen a und b. Ich hab ja einmal die Schnittstellen -2 und 2 und dann unterhalb den schnittpunkt der parabel mit der y-achse, muss ich genau den teil unterhalb oder oberhalb der y-achse rotieren?

und die stammfunktion lautet dann [mm] F(x)=\bruch{1}{5}x^{5}-16x [/mm]
Bezug
                        
Bezug
Rotation: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:13 Mo 02.03.2009
Autor: glie


> Also... nochmal zu den Grenzen a und b. Ich hab ja einmal
> die Schnittstellen -2 und 2 und dann unterhalb den
> schnittpunkt der parabel mit der y-achse, muss ich genau
> den teil unterhalb oder oberhalb der y-achse rotieren?
>  
> und die stammfunktion lautet dann
> [mm]F(x)=\bruch{1}{5}x^{5}-16x[/mm]  [notok]
>  
>  

Hallo nini,

also die Nullstellen der Funktion sind x=-2 und x=2, das passt soweit.
So wie deine Aufgabe gestellt war, rotiert das Flächenstück, das von Graph und x-Achse eingeschlossen wird, also das zwischen -2 und 2 unterhalb der x-Achse liegende Flächenstück.

So weit so gut.....

Also ist folgendes zu berechnen:

[mm] V=\pi*\integral_{-2}^{2}{[x^2-4]^2 dx} [/mm]



Allerdings hast du jetzt einen ziemlichen Hund reingehauen....
könnte es sein, dass du [mm] (x^2-4)^2=x^4-16 [/mm] gerechnet hast????
Das kannst du bestimmt besser!!! Schonmal was von BINOMISCHER FORMEL gehört? ;-)

Jetzt schaffst du es bestimmt!

Gruß Glie
Bezug
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