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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:00 Mi 30.03.2011 | | Autor: | cutter |
Hallo zusammen,
ich habe eine Frage zum Romberg-Verfahren.
So wie ich das bis jetzt verstanden habe, korrigiert mich, wenn ich falsch liege, verbessert das Romberg-Verfahren z.B. den Fehler der zusammengesetzten Trapez-Regel.
Mithilfe der Euler-McLaurinschen Summenformel kann man zeigen, dass der Fehlerterm von der Trapezregel folgende Form hat (h=Schrittweite)
[mm] T_h(f) [/mm] − I(f) = [mm] c_2h^2 [/mm] + [mm] c_4h^4 [/mm] + · · · + [mm] c_{2l-2}h^{2l-2} [/mm] + [mm] c_{2l}(h)h^{2l}
[/mm]
mit [mm] c_2, c_4, [/mm] . . . , [mm] c_{2l−2 } \in \mathbb [/mm] R
Nun soll [mm] c_{2l}(h) [/mm] eine Funktion sein, die beschränkt ist und deshalb gilt
[mm] T_h(f)=I(f) [/mm] für [mm] h\rightarrow [/mm] 0 (Warum ist der Fehlerterm noch von einer Funktion abhängig?)
Nun möchte man [mm] T_0(f) [/mm] durch Extrapolation abschätzen. (Extrapolation, da h als Schrittweite 0 nicht möglich ist ?)
Was macht man nun danach? Konstuiert man ein Polynom durch Interpolation, dass gegen die Schrittweite 0 approximiert wird?
VG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Do 31.03.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
Meiner Kenntnis nach verbessert das rombergverfahren nicht die Konvergenz mit [mm] h^2 [/mm] sondern es erlaubt,beim verfeinern der Intervalle die schon berechneten Funktionswerte wieder zu benutzen, so dass man etwa bei halbierung von h nicht alle Werte neu berechnen muss. schau dir das schema in wiki an.
dass der Fehler von der zu integrierenden fkt abhängt sollte eigentlich klar sein, manche fkt werden durch ein Verfahren ja auch exakt integriert!
für jedes verfahren muss gelten, dass der Fehler mit h gegen 0 verschwindet, die verfahren unterscheiden sich nur dadurch wie schnell sie konvergieren. das rombergverfahren auf die trapezregel angewendet konvergiert nur so gut wie diese.
gruss leduart
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