Robinsonproblem < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | robinson hat festgestellt: ist heute schönes wetter, ist morgen zu 80% schönes wetter; ist heute schlechtes wetter, so ist morgen zu 75% schlechtes wetter. heute ist sonntag und schlechtes wetter, wie groß ist die wahrscheinlichkeit, dass am nächsten sonntag ebenfalls schlechtes wetter ist?
|
hola,
über den baum (glaubt mir, der ist riesig) habe ich das richtige ergebnis (45,29%) ermittelt. die lehrerin will jetzt aber eine formel über die man auch auf das ergebnis kommt...und ich bin ratlos. irgendetwas mit rekursion hat sie gesagt. naja, da ich nur im mathe GK sitze, hoffe ich, dass die mathecracks jetzt zuschlagen und mir helfen :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
Hallo TCO,
p(n) sei die Wahrscheinlichkeit, dass am Tag n schönes Wetter ist. 1-p(n) ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass am gleichen Tag schlechtes Wetter ist. Nun lassen wir Robinsons Erkenntnisse einfließen:
p(n+1) = p(n) * 0.8 + (1-p(n)) * (1-0.75)
= p(n) * 0.8 + 0.25 - p(n)*0.25
= p(n) * 0.55 + 0.25
Mit 0 anfangen (heute ist schlechtes Wetter), 7mal durchführen, fertig. Ach, moment, du brauchst die Wahrscheinlichkeit für schlechtes Wetter - also 1-dein Ergebnis.
(Oder gleicht mit schlechtem Wetter rechnen:
q(n) sei Wahrscheinlichkeit, dass am Tag q schlechtes Wetter ist.
q(n+1) = q(n) *0.75 + (1-q(n)) * (1-0.8)
= q(n) *0.55 + 0.2
Du musst dann natürlich mit 1 anfangen.
HTH
Stukkateur
|
|
|
| |
|
erm..ich hab das grad ma durchprobiert und komme auf ein anderes ergebnis...kannst du das mal bitte für ein oder zwei beispiele vormachen? wär nett...
|
|
|
| |
|
Verwende die Formel von Stukkateur:
[mm]q_7[/mm]
[mm]= 0{,}2 + 0{,}55 \, q_6 = 0{,}2 + 0{,}55 \left( 0{,}2 + 0{,}55 \, q_5 \right)[/mm]
[mm]= 0{,}2 \left(1 + 0{,}55 \right) + 0{,}55^2 q_5 = 0{,}2 \, (1 + 0{,}55) + 0{,}55^2 \left( 0{,}2 + 0{,}55 \, q_4 \right)[/mm]
[mm]= 0{,}2 \left( 1 + 0{,}55 + 0{,}55^2 \right) + 0{,}55^3 q_4[/mm]
[mm]\dots[/mm]
[mm]= 0{,}2 \left( 1 + 0{,}55 + 0{,}55^2 + \ldots + 0{,}55^5 \right) + 0{,}55^6 q_1[/mm]
Für die geometrische Summe in der ersten Klammer gibt es eine Formel, und mit [mm]q_1 = 0{,}75[/mm] folgt dann:
[mm]q_7 = 0{,}2 \cdot \frac{1 - 0{,}55^6}{1 - 0{,}55} + 0{,}55^6 \cdot 0{,}75 = \frac{4}{9} \left( 1 - 0{,}55^6 \right) + 0{,}55^6 \cdot 0{,}75 = \frac{4}{9} + \frac{11}{36} \cdot 0{,}55^6[/mm]
|
|
|
|
