matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenPartielle DifferentialgleichungenRobin Randbedingung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Deutsch • Englisch • Französisch • Latein • Spanisch • Russisch • Griechisch
Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Robin Randbedingung
Robin Randbedingung < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Robin Randbedingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:22 Fr 18.09.2009
Autor: Denny22

Hallo an alle,

ich habe eine partielle DGL 2-ter Ordung vorliegen (Wie diese genau aussieht sollte für meine Fragen hoffentlich keine Rolle spielen). Gesucht wird hierbei eine Funktion

     [mm] $u:\IR^2\supset\Omega\rightarrow\IR^{m}$ [/mm]

wobei [mm] $\Omega$ [/mm] ein zweidimensionales Gebiet (mit glattem Rand oder so) bezeichne und [mm] $m\in\IN$ [/mm] sei. Ich möchte jetzt für dieses System eine allgemeine Robin Randbedingung formulieren (d.h. eine Kombination von Dirichlet- und Neumannrandbedingungen): Für Funktionen [mm] $\alpha,\beta,g:\IR^2\supset\partial\Omega\rightarrow$(?) [/mm] sieht diese wie folgt aus:

     [mm] $\alpha(x)\cdot u(x)+\beta(x)\cdot\frac{\partial u}{\partial\textbf{n}}(x)=g(x)\quad\forall\,x\in\partial\Omega$ [/mm]

1. Frage: Wie lauten die Bildbereiche von [mm] $\alpha,\beta,g$, [/mm] wenn $u$ der obigen Abbildung entspricht? Offenbar sind [mm] $u(x),\frac{\partial u}{\partial\textbf{n}}(x)\in\IR^{m}$. [/mm] Ist nun [mm] $\alpha(x),\beta(x)\in\IR^{m\times m}$ [/mm] und [mm] $g(x)\in\IR^{m}$? [/mm] Oder ist [mm] $\alpha(x),\beta(x)\in\IR^{2m\times m}$ [/mm] und [mm] $g(x)\in\IR^{2m}$? [/mm] Oder anders formuliert: Benötige ich jeweils $m$-Freiheitsgrade für die Dirichlet-Randbedingung und zusätzliche $m$-Freiheitsgrade für die Neumann-Randbedingung (also insgesamt $2m$-Bedingungen) oder benötige ich (da beide Randbedingungen in einer Gleichung stehe) insgemsamt lediglich $m$-Gleichungen?

2. Frage: Bei gewöhnlichen DGL'en (z.B. 2.-Ordung) können wir bekanntlich die Ordung reduzieren und eine DGL 2.-Ordung zu einem System 1. Ordung transformieren (das aus zwei Gleichungen besteht). Gibt es hierfür eine analoge Vorgehensweise für partielle DGL's?

Vielen Dank vorab schon einmal für die Unterstützung.
Gruß Denny

        
Bezug
Robin Randbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 04:37 So 20.09.2009
Autor: MatthiasKr

Hi Denny,

> Hallo an alle,
>  
> ich habe eine partielle DGL 2-ter Ordung vorliegen (Wie
> diese genau aussieht sollte für meine Fragen hoffentlich
> keine Rolle spielen). Gesucht wird hierbei eine Funktion
>  
> [mm]u:\IR^2\supset\Omega\rightarrow\IR^{m}[/mm]
>  
> wobei [mm]\Omega[/mm] ein zweidimensionales Gebiet (mit glattem Rand
> oder so) bezeichne und [mm]m\in\IN[/mm] sei. Ich möchte jetzt für
> dieses System eine allgemeine Robin Randbedingung
> formulieren (d.h. eine Kombination von Dirichlet- und
> Neumannrandbedingungen): Für Funktionen
> [mm]\alpha,\beta,g:\IR^2\supset\partial\Omega\rightarrow[/mm](?)
> sieht diese wie folgt aus:
>  
> [mm]\alpha(x)\cdot u(x)+\beta(x)\cdot\frac{\partial u}{\partial\textbf{n}}(x)=g(x)\quad\forall\,x\in\partial\Omega[/mm]
>  
> 1. Frage: Wie lauten die Bildbereiche von [mm]\alpha,\beta,g[/mm],
> wenn [mm]u[/mm] der obigen Abbildung entspricht? Offenbar sind
> [mm]u(x),\frac{\partial u}{\partial\textbf{n}}(x)\in\IR^{m}[/mm].
> Ist nun [mm]\alpha(x),\beta(x)\in\IR^{m\times m}[/mm] und
> [mm]g(x)\in\IR^{m}[/mm]? Oder ist [mm]\alpha(x),\beta(x)\in\IR^{2m\times m}[/mm]
> und [mm]g(x)\in\IR^{2m}[/mm]? Oder anders formuliert: Benötige ich
> jeweils [mm]m[/mm]-Freiheitsgrade für die Dirichlet-Randbedingung
> und zusätzliche [mm]m[/mm]-Freiheitsgrade für die
> Neumann-Randbedingung (also insgesamt [mm]2m[/mm]-Bedingungen) oder
> benötige ich (da beide Randbedingungen in einer Gleichung
> stehe) insgemsamt lediglich [mm]m[/mm]-Gleichungen?

Hm, wie ist es denn bei reinen dirichlet- oder v. neumann-bedingungen fuer systeme von pde's? Die Robin - bedg. macht da keinen grossen unterschied. Mein gesunder 'pde'-verstand wuerde sagen, dass die koeffizienten-funktionen quadratische matrizen sind, aber meine hand ins feuer legen wuerde ich dafuer nicht.


  

> 2. Frage: Bei gewöhnlichen DGL'en (z.B. 2.-Ordung) können
> wir bekanntlich die Ordung reduzieren und eine DGL
> 2.-Ordung zu einem System 1. Ordung transformieren (das aus
> zwei Gleichungen besteht). Gibt es hierfür eine analoge
> Vorgehensweise für partielle DGL's?

Gute Frage. Theoretisch muesste es gehen, dass man fuer jede partielle ableitung eine hilfsfunktion einfuehrt. Ich denke jedoch, dass das nur in bestimmten faellen sinn macht. Im allgemeinen sollte es schwierig sein, fuer so eine zerlegte gleichung noch eine sinnvolle randbedingung anzugeben.
Ein bekanntes beispiel, wo man eine PDE auf ein system von PDEs niedrigerer ordnung zurueckfuehrt, ist die bilaplace gleichung. Dort wird aus einer gleichung vierter ordnung ein system von gleichungen zweiter ordnung (zb. http://home.gna.org/pdesum/node6.html).

gruss
matthias

> Vielen Dank vorab schon einmal für die Unterstützung.
>  Gruß Denny


Bezug
                
Bezug
Robin Randbedingung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:03 Mo 21.09.2009
Autor: Denny22

Vielen lieben Dank Matthias.

Ich war mir eigentlich auch sehr sicher, dass die Matrizen quadratisch sein müssen. Dann deckt sich unsere Vermutungen. Die Seite zu der Ordungsreduzierung werde ich mir gleich mal ansehen.

Danke und Gruss
Denny


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Partielle Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]