Ringisomorphismus, Modul < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:07 So 13.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo,
ich muss ein Referat über Ringe und Moduln halten. Leider habe ich festgestellt, dass mir wohl einige Grundlagen fehlen und da ich ein wenig unter Zeitdruck bin hoffe ich, dass mir hier jemand weiterhelfen kann. Also meine Frage(n) bezieht bzw. beziehen sich auf eine Aussage aus dem Text, den ich bearbeiten soll und zwar heißt es dort:
Wie wir gesehen haben sind Rechtsmultiplikation [mm] \rho [/mm] und Linksmultiplikation [mm] \lambda [/mm] Ringisomorphismen:
[mm] \rho: [/mm] R [mm] \to [/mm] End(_R R)
[mm] \lambda [/mm] : R [mm] \to End(R_R) [/mm]
Diese Aussage bereitet mir nun Probleme. Also, was ich weiß ist folgendes:
Ein Ringisomorphismus, ist ein Ringhomomorphismus, der bijektiv ist. Was ein Ringhomomorphismus ist, ist mir auch soweit klar.
Mir ist allerdings nicht klar, was hier genau für eine Abbildung beschrieben wird. Also, es scheint ja eine Abbildung zu sein von dem Ring R nach End(_R R) bzw. nach [mm] End(R_R). [/mm] Das würde doch bedeuten, dass einem Ringelement durch die Abbildung eine Funktion zugeordnet wird, nämlich ein Endomorphismus von
_R R nach _R R bzw. von [mm] R_R [/mm] nach [mm] R_R. [/mm] Das verstehe ich allerdings nicht so ganz, zumindest nicht, wenn die Abbilung doch eigentlich nur eine Multiplikation darstellen soll?! Also, um was für eine Abbildung handelt es sich hier genau?
Was mir auch nicht klar ist, ist was genau mit [mm] R_R [/mm] bzw. _R R gemeint sein soll. Sind dies irgendwie Module? Kann mir jemand sagen was genau mit diesen Ausdrücken gemeint ist?
Ich wäre sehr froh, wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte?
Vielen Dank schon mal und viele Grüße!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:04 So 13.11.2011 | | Autor: | felixf |
Hallo yonca!
> ich muss ein Referat über Ringe und Moduln halten. Leider
> habe ich festgestellt, dass mir wohl einige Grundlagen
> fehlen und da ich ein wenig unter Zeitdruck bin hoffe ich,
> dass mir hier jemand weiterhelfen kann. Also meine Frage(n)
> bezieht bzw. beziehen sich auf eine Aussage aus dem Text,
> den ich bearbeiten soll und zwar heißt es dort:
>
> Wie wir gesehen haben sind Rechtsmultiplikation [mm]\rho[/mm] und
> Linksmultiplikation [mm]\lambda[/mm] Ringisomorphismen:
>
>
> [mm]\rho:[/mm] R [mm]\to[/mm] End(_R R)
Das stimmt nicht ganz: es ist ein Isomorphismus von [mm] $R^{op}$ [/mm] nach $End(_R R)$, wobei [mm] $R^{op}$ [/mm] der Ring $R$ mit "umgekehrter Multiplikation" ist, d.h. die Multiplikation [mm] $\circ$ [/mm] von [mm] $R^{op}$ [/mm] ist durch $x [mm] \circ [/mm] y := y [mm] \cdot [/mm] x$ definiert (falls [mm] $\cdot$ [/mm] die Multiplikation von $R$ ist).
>
> [mm]\lambda[/mm] : R [mm]\to End(R_R)[/mm]
>
> Diese Aussage bereitet mir nun Probleme. Also, was ich
> weiß ist folgendes:
> Ein Ringisomorphismus, ist ein Ringhomomorphismus, der
> bijektiv ist. Was ein Ringhomomorphismus ist, ist mir auch
> soweit klar.
> Mir ist allerdings nicht klar, was hier genau für eine
> Abbildung beschrieben wird. Also, es scheint ja eine
> Abbildung zu sein von dem Ring R nach End(_R R) bzw. nach
> [mm]End(R_R).[/mm] Das würde doch bedeuten, dass einem Ringelement
> durch die Abbildung eine Funktion zugeordnet wird, nämlich
> ein Endomorphismus von
> _R R nach _R R bzw. von [mm]R_R[/mm] nach [mm]R_R.[/mm] Das verstehe ich
> allerdings nicht so ganz, zumindest nicht, wenn die
> Abbilung doch eigentlich nur eine Multiplikation darstellen
> soll?! Also, um was für eine Abbildung handelt es sich
> hier genau?
>
> Was mir auch nicht klar ist, ist was genau mit [mm]R_R[/mm] bzw. _R
> R gemeint sein soll. Sind dies irgendwie Module? Kann mir
Mit [mm] $R_R$ [/mm] ist $R$ als Rechts-$R$-Modul gemeint. Und mit $_R R$ ist $R$ als Links-$R$-Modul gemeint.
> jemand sagen was genau mit diesen Ausdrücken gemeint ist?
Nun zur Abbildung [mm] $\rho [/mm] : R [mm] \to [/mm] End(_R R)$. Ist $r [mm] \in [/mm] R$, so ist [mm] $\varphi_r [/mm] : _R R [mm] \to [/mm] _R R$, $s [mm] \mapsto [/mm] s r$ ein Links-$R$-Modul-Endomorphismus: es gilt [mm] $\varphi_r(s [/mm] + s') = [mm] \varphi_r(s) [/mm] + [mm] \varphi_r(s')$ [/mm] und [mm] $\varphi_r(\lambda [/mm] s) = [mm] \lambda \varphi_r(s)$ [/mm] fuer alle $s, s' [mm] \in [/mm] _R R$ und [mm] $\lambda \in [/mm] R$. Weiterhin gilt fuer $r, r' [mm] \in [/mm] R$, dass [mm] $\varphi_r \circ \varphi_{r'} [/mm] = [mm] \varphi_{r' r}$ [/mm] und [mm] $\varphi_r [/mm] + [mm] \varphi_{r'} [/mm] = [mm] \varphi_{r + r'}$ [/mm] ist. Deswegen ist die Zuordnung [mm] $\rho [/mm] : [mm] R^{op} \to [/mm] End(_R R)$, $r [mm] \mapsto \varphi_r$ [/mm] ein Ringisomorphismus.
Zur Abbildung [mm] $\lambda$: [/mm] da geht man aehnlich vor, mit dem Unterschied, dass [mm] $\lambda(r)$ [/mm] die Abbildung [mm] $R_R \to R_R$ [/mm] ist mit $s [mm] \mapsto [/mm] r s$. Dann gilt [mm] $\lambda(r [/mm] r') = [mm] \lambda(r) \circ \lambda(r')$ [/mm] und [mm] $\lambda(r [/mm] + r') = [mm] \lambda(r) [/mm] + [mm] \lambda(r')$.
[/mm]
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:37 Di 15.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal,
> > Wie wir gesehen haben sind Rechtsmultiplikation [mm]\rho[/mm] und
> > Linksmultiplikation [mm]\lambda[/mm] Ringisomorphismen:
> >
> >
> > [mm]\rho:[/mm] R [mm]\to[/mm] End(_R R)
>
> Das stimmt nicht ganz: es ist ein Isomorphismus von [mm]R^{op}[/mm]
> nach [mm]End(_R R)[/mm], wobei [mm]R^{op}[/mm] der Ring [mm]R[/mm] mit "umgekehrter
> Multiplikation" ist, d.h. die Multiplikation [mm]\circ[/mm] von
> [mm]R^{op}[/mm] ist durch [mm]x \circ y := y \cdot x[/mm] definiert (falls
> [mm]\cdot[/mm] die Multiplikation von [mm]R[/mm] ist).
Kann ich dann davon ausgehen, dass das ein Fehler in meinem Skript ist, denn dort steht es so wie ichs hier geschrieben habe?
Gruß,
Yonca!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:56 Di 15.11.2011 | | Autor: | felixf |
Moin Yonca,
> > > Wie wir gesehen haben sind Rechtsmultiplikation [mm]\rho[/mm] und
> > > Linksmultiplikation [mm]\lambda[/mm] Ringisomorphismen:
> > >
> > >
> > > [mm]\rho:[/mm] R [mm]\to[/mm] End(_R R)
> >
> > Das stimmt nicht ganz: es ist ein Isomorphismus von [mm]R^{op}[/mm]
> > nach [mm]End(_R R)[/mm], wobei [mm]R^{op}[/mm] der Ring [mm]R[/mm] mit "umgekehrter
> > Multiplikation" ist, d.h. die Multiplikation [mm]\circ[/mm] von
> > [mm]R^{op}[/mm] ist durch [mm]x \circ y := y \cdot x[/mm] definiert (falls
> > [mm]\cdot[/mm] die Multiplikation von [mm]R[/mm] ist).
>
>
> Kann ich dann davon ausgehen, dass das ein Fehler in meinem
> Skript ist, denn dort steht es so wie ichs hier geschrieben
> habe?
wenn ihr nicht eine sehr komische Definition von Isomorphismus habt (wuerd mich arg wundern), oder andere Dinge seeeeeeehr komisch definiert habt (was ich bezweifle), dann ja.
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Do 17.11.2011 | | Autor: | yonca |
Hallo nochmal,
ich habe nochmal eine Frage zu [mm]_R R[/mm] und zu [mm] R_R:
[/mm]
> Mit [mm]R_R[/mm] ist [mm]R[/mm] als Rechts-[mm]R[/mm]-Modul gemeint. Und mit [mm]_R R[/mm] ist
> [mm]R[/mm] als Links-[mm]R[/mm]-Modul gemeint.
Ist es richtig, dass in beiden Fällen (also [mm]_R R[/mm] und [mm] R_R) [/mm] die selbe Menge beschrieben wird nur mit dem Unterschied, dass für [mm]_R R[/mm] eine weitere Verknüpfung mit einem Ringelement von links und für [mm] R_R [/mm] eine weitere Verknüpfung mit einem Ringelement von rechts definiert
wurde. Ist das so? Und wenn ja, ist diese Verknüpfung dann eine andere als die Multiplikation in (R,+, [mm] \cdot)? [/mm]
Danke schon mal für eure Antworten!
Yonca
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Hallo Yonca!
> Hallo nochmal,
>
> ich habe nochmal eine Frage zu [mm]_R R[/mm] und zu [mm]R_R:[/mm]
>
> > Mit [mm]R_R[/mm] ist [mm]R[/mm] als Rechts-[mm]R[/mm]-Modul gemeint. Und mit [mm]_R R[/mm] ist
> > [mm]R[/mm] als Links-[mm]R[/mm]-Modul gemeint.
>
>
> Ist es richtig, dass in beiden Fällen (also [mm]_R R[/mm] und [mm]R_R)[/mm]
> die selbe Menge beschrieben wird nur mit dem Unterschied,
> dass für [mm]_R R[/mm] eine weitere Verknüpfung
Operation!
> mit einem
> Ringelement von links und für [mm]R_R[/mm] eine weitere
> Verknüpfung mit einem Ringelement von rechts definiert
> wurde. Ist das so?
Du scheinst das Richtige zu meinen, aber die Formulierung ist unsauber.
> Und wenn ja, ist diese Verknüpfung dann
> eine andere als die Multiplikation in (R,+, [mm]\cdot)?[/mm]
Bei einem $R$-Rechtsmodule ist die [mm] \textbf{Operation!} [/mm] eine andere (s.u.), bei einem $R$-Linksmodul nicht.
>
> Danke schon mal für eure Antworten!
> Yonca
[mm] \textbf{Hier die kurze Erläuterung}:
[/mm]
Mit dem $R$-Linksmodul $_R R$ ist die abelsche Gruppe von $R$ zusammen mit der Multiplikation von $R$ als Operation des Rings $R$ auf der abelschen Gruppe $R$ gemeint.
Mit dem $R$-Rechtsmodul $R_ R$ ist die abelsche Gruppe $R$ zusammen mit der entgegengesetzten Multiplikation von $R$ als Operation des Rings $R$ auf der abelschen Gruppe $R$ gemeint.
[mm] \textbf{Hier die lange, etwas mehr formale Erläuterung}:
[/mm]
Wenn man von dem Ring $R$ spricht, so ist damit ein Tripel [mm] $(R,+,\cdot)$ [/mm] mit zwei geeigneten Verknüpfungen gemeint.
Die Multiplikation(sabbildung) ist [mm] $\cdot: R\times [/mm] R [mm] \rightarrow [/mm] R, (r,s) [mm] \mapsto \cdot((r,s))$.
[/mm]
Dabei schreibt man meistens [mm] $r\cdot [/mm] s := [mm] \cdot((r,s))$.
[/mm]
Mit dem $R$-Linksmodul $_R R$ ist das Tupel $((R,+), [mm] \cdot)$ [/mm] gemeint, wobei jetzt [mm] '$\cdot$' [/mm] die Operation von [mm] $(R,+,\cdot)$ [/mm] auf der abelschen Gruppe $(R,+)$ ist.
Mit dem $R$-Rechtsmodul $R_ R$ ist das Tupel $((R,+), [mm] \cdot [/mm] ^{op})$ gemeint, wobei
[mm] $\cdot [/mm] ^{op}: [mm] R\times [/mm] R [mm] \rightarrow [/mm] R, (r,s) [mm] \mapsto s\cdot [/mm] r$.
die Operation von [mm] $(R,+,\cdot)$ [/mm] auf der abelschen Gruppe $(R,+)$ ist.
Beachte, dass hier die zu [mm] '$\cdot$' [/mm] entegegengesetze Multiplikation die Operation ist, der operierende Ring aber weiterhin die Multiplikation [mm] '$\cdot$' [/mm] besitzt.
[mm] ($\cdot [/mm] ^{op}$ ist die entgegengesetzte Multiplikation bzw. die Multiplikation des zu $R$ entgegengesetzten Rings [mm] $R^{op}$).
[/mm]
Hast Du meine Erklärung für Rechtsmoduln in 'https://www.vorhilfe.de/read?t=837187' verstanden?
LG mathfunnel
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