Ringisomorphismus < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:34 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Sei (K,+,*) ein Körper und [mm] (R,\oplus,\odot) [/mm] ein Intigritätsbereich. Es geben eine Abbildung [mm] \phi [/mm] : K [mm] \to [/mm] R, die ein bijektiver Rinisomorphismus ist.
Ist [mm] (R,\oplus,\odot) [/mm] ein Körper? |
Hio!
Also ich stocke etwas bei der Lösung, aber hier erstmal was ich bisher so weiß:
"Ein kommutativer Ring mit Eins, in dem jedes Element [mm] \not= [/mm] 0 ein multiplikatives Inverses hat ist ein Körper"
"Ein kommutativer nullteilerfreier Ring mit Einselement heißt ein Integritätsbereich"
Also muss ich für R doch nur noch prüfen um zu jedem Element aus R [mm] \not= [/mm] 0 ein neutrales Element vorhanden ist.
Da [mm] \phi [/mm] bijekiv ist weiß ich schonmal, dass K und R gleichmächtig sind. Da K nun auch noch ein Körper ist und [mm] \phi [/mm] ein Isomorphismus scheint es mir recht klar, dass R ein Körper ist. Das gilt es also nun zu beweisen.
Es gilt ja: [mm] \phi(x*y) [/mm] = [mm] \phi(x)\odot\phi(y) [/mm] mit x,y [mm] \in [/mm] K
zu zeigen: a [mm] \odot [/mm] b = 1 mit a,b [mm] \in [/mm] R und 1 Einselement von R
Ich habe folgenden Ansatz probiert:
a = [mm] \phi(x*x^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(x)\odot\phi(x^{-1})
[/mm]
Dabei habe ich nun zwei Fragen:
Bei welchen Abbildungen gilt [mm] f(x^{-1}) [/mm] = [mm] (f(x))^{-1}? [/mm] Bei Homomorphismen?
Bei linearen Abbildungen bin ich sicher, dass das neutrale Element immer auf "das andere" neutrale Element abgebildet wird, bei dieser Aufgabe kann ich dabei jedoch nicht davon ausgehen oder?
Bin für Anregungen bei der Aufgabe offen... ;)
Gruß
Pille
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> Sei (K,+,*) ein Körper und [mm](R,\oplus,\odot)[/mm] ein
> Intigritätsbereich. Es geben eine Abbildung [mm]\phi[/mm] : K [mm]\to[/mm]
> R, die ein bijektiver Rinisomorphismus ist.
> Ist [mm](R,\oplus,\odot)[/mm] ein Körper?
Hallo,
es rankt sich hier ja letztendlich alles um die Frage, ob die [mm] 1_K [/mm] auf [mm] 1_R [/mm] abgebildet werden muß oder nicht, und ich gehe davon aus, daß Ihr "Ringhomomorphismus" zwischen beliebigen Ringen definiert habt, daß also [mm] \phi(1_K)=1_R [/mm] nicht vorausgesetzt ist.
Du solltest jetzt also nicht drüber sinnieren, ob Du davon ausgehen kannst, daß das so ist, sondern nachweisen, daß es gar nicht anders sein kann.
Betrachte dazu [mm] \phi(1_k)=\phi(1_K*1_K), [/mm] und verwende, daß R ein Integritätsbereich ist.
Danach ist dann die Frage zu klären, ob jedes [mm] y\in [/mm] R ein Inverses hat - ich denke, das bekommst Du dann hin.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:24 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
Ah ja, wenn man weiß, dass [mm] \phi(1_k) [/mm] = [mm] 1_R [/mm] gilt ist die Aufgabe gut machbar, da war ich mir nur nicht sicher.
Sei a = [mm] \phi(1_K)
[/mm]
a = [mm] \phi(1_k) [/mm] = [mm] \phi(1_k*1_k) [/mm] = [mm] \phi(1_k) \odot \phi(1_k) [/mm] = a [mm] \odot [/mm] a [mm] \Rightarrow [/mm] a = [mm] 1_R, [/mm] denn wenn a [mm] \odot [/mm] a = a gilt, gilt für R ebenfalls a [mm] \oplus [/mm] a = [mm] 0_R [/mm] für alle a [mm] \in [/mm] R, womit R nicht nullteilerfrei wäre. Also muss a = [mm] 1_R [/mm] sein.
[mm] \phi(1_k) [/mm] = [mm] \phi(a*a^{-1}) [/mm] = [mm] \phi(a) \odot \phi(a^{-1}) [/mm] = [mm] 1_R [/mm] Daraus folgt dann, dass es ein Inveres Element zu [mm] \phi(a) [/mm] geben muss.
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> Sei a = [mm]\phi(1_K)[/mm]
> a = [mm]\phi(1_k)[/mm] = [mm]\phi(1_k*1_k)[/mm] = [mm]\phi(1_k) \odot \phi(1_k)[/mm]
> = a [mm]\odot[/mm] a [mm]\Rightarrow[/mm] a = [mm]1_R,[/mm]
> denn wenn a [mm]\odot[/mm] a = a
> gilt, gilt für R ebenfalls a [mm]\oplus[/mm] a = [mm]0_R[/mm] für alle a
> [mm]\in[/mm] R, womit R nicht nullteilerfrei wäre.
Hallo,
Deine Begründung mit dem "ebenfalls a [mm]\oplus[/mm] a = [mm]0_R[/mm]" ist mir überhaupt nicht klar.
> Also muss a =
> [mm]1_R[/mm] sein.
Ja.
> [mm]\phi(1_k)[/mm] = [mm]\phi(a*a^{-1})[/mm] = [mm]\phi(a) \odot \phi(a^{-1})[/mm] =
> [mm]1_R[/mm] Daraus folgt dann, dass es ein Inveres Element zu
> [mm]\phi(a)[/mm] geben muss.
Ja, Du mußt das natürlich noch richtig nett aufschreiben mit "zu jeden" und "existiert" und "so daß" und "also ist".
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:46 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Pille456 |
> Deine Begründung mit dem "ebenfalls a [mm]\oplus[/mm] a = [mm]0_R[/mm]" ist
> mir überhaupt nicht klar.
Hatte ich mir fast gedacht. Wir hatten auf dem letzten Übungsblatt die Aufgabe für einen Ring in dem a [mm] \odot [/mm] a = a gilt zu beweisen, dass dort a [mm] \oplus [/mm] a = 0 für alle a aus R gilt. Es handelt sich dann dabei um einen booleschen Ring.
Der Beweis sieht dann etwa so aus:
(1 [mm] \oplus [/mm] a) = (1 [mm] \oplus [/mm] a) [mm] \odot [/mm] (1 [mm] \oplus [/mm] a) = 1 [mm] \oplus [/mm] a [mm] \oplus [/mm] a [mm] \oplus [/mm] a [mm] \odot [/mm] a = 1 [mm] \oplus [/mm] a [mm] \oplus [/mm] a [mm] \oplus [/mm] a
(1 [mm] \oplus [/mm] a) = 1 [mm] \oplus [/mm] a [mm] \oplus [/mm] a [mm] \oplus [/mm] a |-(1 [mm] \oplus [/mm] a), da R ein Ring ist, ist Inveres vorhanden
0 = a [mm] \oplus [/mm] a
Also wenn a [mm] \odot [/mm] a = a für alle a aus R gilt, dann gilt auch a [mm] \oplus [/mm] a = 0 und damit wäre R nicht nullteilerfrei. Da R aber per Vorraussetzung aus der Aufgabe nullteilerfrei ist, kann a [mm] \odot [/mm] a = a nicht für alle a aus R gelten. Genauer damit die Nullteilerfreiheit gewährleistet ist, darf es ja nur für ein a [mm] \in [/mm] R gelten, nämlich dem neutralen Element.
> Ja, Du mußt das natürlich noch richtig nett aufschreiben
> mit "zu jeden" und "existiert" und "so daß" und "also
> ist".
Jap das wird natürlich nochmal etwas ausführlich aufgeschrieben ;9
Gruß
Pille
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> > Deine Begründung mit dem "ebenfalls a [mm]\oplus[/mm] a = [mm]0_R[/mm]" ist
> > mir überhaupt nicht klar.
> Hatte ich mir fast gedacht. Wir hatten auf dem letzten
> Übungsblatt die Aufgabe für einen Ring in dem a [mm]\odot[/mm] a =
> a
vermutlich: für alle a
> gilt zu beweisen, dass dort a [mm]\oplus[/mm] a = 0 für alle a
> aus R gilt. Es handelt sich dann dabei um einen booleschen
> Ring.
Hallo,
das paßt nun allerdings gar nicht zu der Situation, die Du aktuell vorliegen hast, denn hier hast Du ein a (nämlich [mm] f(1_K) [/mm] )für welches [mm] a\odot [/mm] a=a ist.
Wenn daraus folgen würde, daß a+a=0 ist, dann wäre in den ganzen Zahlen ja auch 2=1+1=0...
Da laß Dir mal lieber was anderes einfallen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:47 Mi 05.08.2009 | | Autor: | Pille456 |
| Aufgabe | Sei (K,+,*) ein Körper und $ [mm] (R,\oplus,\odot) [/mm] $ ein Intigritätsbereich. Es geben eine Abbildung $ [mm] \phi [/mm] $ : K $ [mm] \to [/mm] $ R, die ein bijektiver Ringisomorphismus ist.
Ist $ [mm] (R,\oplus,\odot) [/mm] $ ein Körper? |
Hi!
Ich hatte diese Frage vor einiger Zeit schonmal gestellt und auch eine Antwort bekommen (danke dafür natürlich!), nur in diesem Fall hat sich der Sachverhalt etwas geändert.
Laut Wikipedia ist ein Intigritätsbereich ein kommutativer Ring mit Eins, der nullteilerfrei ist.
Laut der Definition in meiner Vorlesung jedoch nur ein Ring, der nullteilerfrei ist.
Analog zu der Lösung vor Kurzem:
Sei a = $ [mm] \phi(1_K) [/mm] $ (wobei [mm] 1_K [/mm] Einselement von K)
a = $ [mm] \phi(1_k) [/mm] $ = $ [mm] \phi(1_k\cdot{}1_k) [/mm] $ = $ [mm] \phi(1_k) \odot \phi(1_k) [/mm] $ = a $ [mm] \odot [/mm] $ a
Wie kann ich daraus Begründen, dass a das neutrale Element ist und dass eben nur neutrales Element auf neutrales Element abgebildet wird? Es muss ja irgendwie damit zusammenhängen, dass R nullteilerfrei ist.
Alle anderen Körperaxiome sind dann recht gut beweisbar.
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> Sei (K,+,*) ein Körper und [mm](R,\oplus,\odot)[/mm] ein
> Intigritätsbereich. Es geben eine Abbildung [mm]\phi[/mm] : K [mm]\to[/mm]
> R, die ein bijektiver Ringisomorphismus ist.
> Ist [mm](R,\oplus,\odot)[/mm] ein Körper?
> Hi!
>
> Ich hatte diese Frage vor einiger Zeit schonmal gestellt
> und auch eine Antwort bekommen (danke dafür natürlich!),
> nur in diesem Fall hat sich der Sachverhalt etwas
> geändert.
> Laut Wikipedia ist ein Intigritätsbereich ein
> kommutativer Ring mit Eins, der nullteilerfrei ist.
> Laut der Definition in meiner Vorlesung jedoch nur ein
> Ring, der nullteilerfrei ist.
> Analog zu der Lösung vor Kurzem:
> Sei a = [mm]\phi(1_K)[/mm] (wobei [mm]1_K[/mm] Einselement von K)
> a = [mm]\phi(1_k)[/mm] = [mm]\phi(1_k\cdot{}1_k)[/mm] = [mm]\phi(1_k) \odot \phi(1_k)[/mm]
> = a [mm]\odot[/mm] a
> Wie kann ich daraus Begründen, dass a das neutrale Element
> ist und dass eben nur neutrales Element auf neutrales
> Element abgebildet wird? Es muss ja irgendwie damit
> zusammenhängen, dass R nullteilerfrei ist.
Hallo,
also muß man erstmal der Frage auf den Grund gehen, ob aus der Existenz des Ringisomorphismus folgt, daß R eine Eins enthält. Der Rest ergibt sich dann ja fast automatisch.
Sei also [mm] a:=\phi(1_K).
[/mm]
Weil wir einen Isomorphismus haben, gibt es zu jedem [mm] b\in [/mm] R ein [mm] x_b\in [/mm] K mit
[mm] \phi(x_b)=b.
[/mm]
Wenn man nun die Homomorphismuseigenschaften ausspielt, kommt man doch dazu, daß a die Eins in R ist.
"Nullteilerfrei" brauche ich dafür gar nicht, oder übersehe ich gerade etwas?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:53 Mi 05.08.2009 | | Autor: | Pille456 |
> Wenn man nun die Homomorphismuseigenschaften ausspielt,
> kommt man doch dazu, daß a die Eins in R ist.
Könntest du mir das mal vormachen?
Mir ist zwar klar, dass es zu jedem b [mm] \in [/mm] K ein [mm] \phi(b) \in [/mm] R gibt, also das Einselement von K auf irgendein Element von R abgebildet wird, aber woher weiss ich, dass genau dieses Element das Einselement von R ist? (Woher weiß ich, dass R überhaupt ein Einselement hat auf das ich abbilden kann?)
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> > Wenn man nun die Homomorphismuseigenschaften ausspielt,
> > kommt man doch dazu, daß a die Eins in R ist.
> Könntest du mir das mal vormachen?
> Mir ist zwar klar, dass es zu jedem b [mm]\in[/mm] K ein [mm]\phi(b) \in[/mm]
> R gibt, also das Einselement von K auf irgendein Element
> von R abgebildet wird, aber woher weiss ich, dass genau
> dieses Element das Einselement von R ist? (Woher weiß ich,
> dass R überhaupt ein Einselement hat auf das ich abbilden
> kann?)
Hallo,
klar ist, daß [mm] 1_K [/mm] auf irgendein Element aus R abgebildet wird.
Sei [mm] a:=\phi (1_K).
[/mm]
Weil [mm] \Phi [/mm] n.V. ein Isomorphismus ist, gibt es zu jedem [mm] b\in [/mm] R ein [mm] x_b\in [/mm] K mit [mm] \phi(x_b)=b.
[/mm]
Aufgrund der Ringhomomorphismuseigenschaften folgt
[mm] a*b=\phi(1_k)*\phi (x_b)=\phi(1_k*x_b)=\phi(x_b)=b.
[/mm]
Wir haben also: für jedes b gilt a*b=b.
Ebenso b*a=b,
also ist a die Eins in R.
Es ist also so, daß aus "Isomorphismus" folgt, daß R eine Eins enthält.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:08 Mi 05.08.2009 | | Autor: | Pille456 |
> Es ist also so, daß aus "Isomorphismus" folgt, daß R eine
> Eins enthält.
Sowas dachte ich mir schon, man muss es nur mal beweisen . Also (mal wieder) herzlichen Dank ;)
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