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| Aufgabe | Gegeben seien kommutative Ringe R und S mit Einselementen [mm] $1_R$ [/mm] und [mm] $1_S$, [/mm] ein R-Ideal $I$ und ein Ringhomomorphismus h: R [mm] $\rightarrow$ [/mm] S.
(i) Ist h(R) ein Unterring von S?
(ii) Unter welcher der folgenden Voraussetzungen an den Ringhomomorphismus h ist h($I$) ein S-Ideal:
(a) h injektiv,
(b) h surjektiv,
(c) h belebig? |
Huhu, ich habe die Aufgabe oben vorliegen und bräuchte dabei Hilfe.
Zu (i):
Ich habe mir erst einmal die Definition des Unterrings angesehen:
S [mm] $\subset$ [/mm] R, R ein Ring mit 1, heißt Unterring von R, wenn:
(i) a, b [mm] $\in$ [/mm] S [mm] $\Rightarrow$ [/mm] a-b, ab [mm] $\in$ [/mm] S
(ii) 1 [mm] $\in$ [/mm] S
Weiterhin steht in einer Bemerkung:
Ist [mm] $\varphi: [/mm] R [mm] \Rightarrow [/mm] R'$ ein Ringhomorphismus, dann ist [mm] $\varphi [/mm] (R) [mm] \subset [/mm] R'$ ein Unterring:
[mm] $\varphi (1_R) [/mm] = [mm] 1_{R'} \in [/mm] R'$
[mm] $\varphi [/mm] (a), [mm] \varphi [/mm] (b) [mm] \in [/mm] R' [mm] \Rightarrow \varphi [/mm] (ab) = [mm] \varphi [/mm] (a) [mm] \varphi [/mm] (b) [mm] \in [/mm] R'$
$ [mm] \varphi [/mm] (a+(-b)) = [mm] \varphi [/mm] (a) + [mm] \varphi [/mm] (-b) = [mm] \varphi [/mm] (a) + [mm] \varphi ((-1_R)*b) [/mm] = [mm] \varphi [/mm] (a) - [mm] 1_{R'} \varphi [/mm] (b) = [mm] \varphi [/mm] (a) - [mm] \varphi [/mm] (b) [mm] \in [/mm] R' $
Kann ich hier also analog direkt mit dieser Bemerkung ran gehen? Sprich:
Da laut Aufgabe h: R [mm] $\Rightarrow$ [/mm] S ein Ringhomorphismus ist, gilt nach Vorlesung h(R) [mm] $\subset$ [/mm] S ist ein Unterring:
$h [mm] (1_R) [/mm] = [mm] 1_{S} \in [/mm] S$
$h (a), h (b) [mm] \in [/mm] S [mm] \Rightarrow [/mm] h (ab) = h (a) h (b) [mm] \in [/mm] S$
$ h (a+(-b)) = h (a) + h (-b) = h (a) + h [mm] ((-1_R)*b) [/mm] = h (a) - [mm] 1_S [/mm] h (b) = h (a) - h (b) [mm] \in [/mm] S $
Wäre (i) damit gezeigt?
Zu (ii)
(a) Dazu habe ich in meinem Skript ebenfalls eine Bemerkung gefunden, äquivalent wie folgt:
$Ist h: R [mm] \Rightarrow [/mm] S ein Ringhomomorphismus, dann ist ker d := [mm] \{ a \in R: h(a) = 0 \} [/mm] ein R-Ideal und ker h=0 <=> h injektiv.
(Was mich hier nur stutzig macht ist, dass die Bemerkung dann auf ein R-Ideal bezogen ist und nicht etwas ein R', bzw. äquivalent ein S-Ideal, wie in der Aufgabe.)
zu (b) und (c) habe ich noch keine Ideen.
Ich bedanke mich für jede Hilfe. :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:41 Mo 06.05.2013 | | Autor: | hippias |
> Gegeben seien kommutative Ringe R und S mit Einselementen
> [mm]1_R[/mm] und [mm]1_S[/mm], ein R-Ideal [mm]I[/mm] und ein Ringhomomorphismus h: R
> [mm]\rightarrow[/mm] S.
> (i) Ist h(R) ein Unterring von S?
> (ii) Unter welcher der folgenden Voraussetzungen an den
> Ringhomomorphismus h ist h([mm]I[/mm]) ein S-Ideal:
> (a) h injektiv,
> (b) h surjektiv,
> (c) h belebig?
> Huhu, ich habe die Aufgabe oben vorliegen und bräuchte
> dabei Hilfe.
>
> Zu (i):
> Ich habe mir erst einmal die Definition des Unterrings
> angesehen:
>
> S [mm]\subset[/mm] R, R ein Ring mit 1, heißt Unterring von R,
> wenn:
> (i) a, b [mm]\in[/mm] S [mm]\Rightarrow[/mm] a-b, ab [mm]\in[/mm] S
> (ii) 1 [mm]\in[/mm] S
>
> Weiterhin steht in einer Bemerkung:
>
> Ist [mm]\varphi: R \Rightarrow R'[/mm] ein Ringhomorphismus, dann
> ist [mm]\varphi (R) \subset R'[/mm] ein Unterring:
> [mm]\varphi (1_R) = 1_{R'} \in R'[/mm]
> [mm]\varphi (a), \varphi (b) \in R' \Rightarrow \varphi (ab) = \varphi (a) \varphi (b) \in R'[/mm]
>
> [mm]\varphi (a+(-b)) = \varphi (a) + \varphi (-b) = \varphi (a) + \varphi ((-1_R)*b) = \varphi (a) - 1_{R'} \varphi (b) = \varphi (a) - \varphi (b) \in R'[/mm]
>
> Kann ich hier also analog direkt mit dieser Bemerkung ran
> gehen? Sprich:
>
> Da laut Aufgabe h: R [mm]\Rightarrow[/mm] S ein Ringhomorphismus
> ist, gilt nach Vorlesung h(R) [mm]\subset[/mm] S ist ein Unterring:
> [mm]h (1_R) = 1_{S} \in S[/mm]
> [mm]h (a), h (b) \in S \Rightarrow h (ab) = h (a) h (b) \in S[/mm]
>
> [mm]h (a+(-b)) = h (a) + h (-b) = h (a) + h ((-1_R)*b) = h (a) - 1_S h (b) = h (a) - h (b) \in S[/mm]
>
> Wäre (i) damit gezeigt?
Ja.
>
> Zu (ii)
>
> (a) Dazu habe ich in meinem Skript ebenfalls eine Bemerkung
> gefunden, äquivalent wie folgt:
>
> $Ist h: R [mm]\Rightarrow[/mm] S ein Ringhomomorphismus, dann ist
> ker d := [mm]\{ a \in R: h(a) = 0 \}[/mm] ein R-Ideal und ker h=0
> <=> h injektiv.
> (Was mich hier nur stutzig macht ist, dass die Bemerkung
> dann auf ein R-Ideal bezogen ist und nicht etwas ein R',
> bzw. äquivalent ein S-Ideal, wie in der Aufgabe.)
Die Aufgabenstellung ist so zu verstehen:
a) Ist $h(I)$ ein Ideal, wenn $h$ injektiv ist?
b) Ist $h(I)$ ein Ideal, wenn $h$ surjektiv ist?
etc.
Die Bemerkung zu dem Kern von $h$ ist hier wohl nicht nuetzlich. Schaue Dir die Definition eines Ideals an und versuche als erstes zu zeigen, dass $h(I)$ ein Ideal ist, wenn $h$ surjektiv ist.
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> zu (b) und (c) habe ich noch keine Ideen.
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> Ich bedanke mich für jede Hilfe. :)
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:55 Mo 06.05.2013 | | Autor: | lol13 |
Kann man (ii) mithilfe des Homomorphiesatzes für Ringe zeigen?
Dann gilt ja:
h' ist injektiv <=> ker h= I
h' ist surjektiv <=> h' surjektiv
Problem ist jetzt aber, dass es sich um h' handelt und nich um h ....?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:20 Mi 08.05.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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