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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:59 Mo 30.11.2015 | | Autor: | MinLi |
| Aufgabe | Sei R ein kommutativer Ring und I, J [mm] \subset [/mm] R zwei Ideale.
a) Zeigen Sie die Existenz eines injektiver Ringhomomorphismus
[mm] R/(I\cap [/mm] J) [mm] \to [/mm] R/I x R/J .
(Das Produkt von Ringen ist wieder ein Ring und vermöge komponentenweiser Addition und Multiplikation.)
b) Seien I und J koprim, das heißt I+J=(1). Zeigen Sie die Existenz eines Ringisomorphismus [mm] R/(I\cap [/mm] J) [mm] \cong [/mm] R/I x R/J. |
Hallo,
ich soll obige Aufgabe lösen, doch ich habe ein paar Fragen dazu was ich alles zeigen muss.
a) Muss ich hier nur die Existenz oder auch die Eindeutigkeit zeigen? Und zur Existenz: es reicht zu zeigen, dass die obige Abbildung existiert und dass sie ein injektiver Ringhomomorphismus ist.
b) Dass diese Abbildung existiert und dass sie ein Homomorphismus ist habe ich in a) schon bewiesen. Es reicht also zu zeigen, dass es sich um eine Bijektion handelt.
Stimmt das so oder habe ich etwas vergessen was man noch zeigen muss?
LG, MinLi
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Hallo,
die Eindeutigkeit musst du nicht zeigen. Allerdings meint der Aufgabensteller eigentlich nicht, dass du die Existenz zeigen sollst, sondern die Injektivität eines ganz speziellen "kanonischen" Homomorphismus.
Also wie sieht der injektive Homomorphismus [mm] $R/(I\cap J)\longrightarrow R/I\times [/mm] R/J$ aus? Er sieht so aus, dass man sich einen Homomorphismus [mm] $R\longrightarrow R/I\times [/mm] R/J$ sucht, der den Kern [mm] $I\cap [/mm] J$ hat. Wie sieht der Homomorphismus [mm] $R\longrightarrow R/I\times [/mm] R/J$ aus? Nun, ein Homomorphismus ins direkte Produkt ist bereits vollständig durch seine beiden Komponentenabbildungen gegeben. In diesem Fall sind das natürlich die Projektionen [mm] $R\longrightarrow [/mm] R/I$ und [mm] $R\longrightarrow [/mm] R/J$.
Zusammengefasst: Zeige, dass der Homomorphismus [mm] $R\longrightarrow R/I\times [/mm] R/J$, [mm] $x\longmapsto (\bar{x},\bar{x})$ [/mm] genau den Kern [mm] $I\cap [/mm] J$ hat und verwende den Homomorphiesatz.
b) genau. Genauer gesagt reicht es zu zeigen, dass [mm] $R\longrightarrow R/I\times [/mm] R/J$ surjektiv ist. Der Rest folgt dann wiederum aus dem Homomorphiesatz. Die Surjektivität dieser Abbildung ist übrigens als "Chinesischer Restsatz" bekannt. Ich empfehle dir trotzdem, die Aufgabe selbst zu lösen und nicht nach diesem Stichwort zu googlen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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